独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問2問・無料

東京大学　2025年度　前期日程　理科

第3問図形と三角関数の解答・解説

三角関数の合成・長方形に内接する平行四辺形・最大値当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/11

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/05時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1) $∠ BCG = θ$ のとき、長方形 $EFGH$ の面積 $S$ を $a, b, θ$ で表す

答 $S = \frac{a ^{2}}{2} sin (2 θ + \frac{2 π}{3}) + \frac{b ^{2}}{2} sin 2 θ + \frac{ab}{2}$

長方形の2辺の長さを、 $θ$ を使って直角三角形から拾う。 $B$ のまわりの角の和から、もう一方の直角三角形の角も $θ$ で書ける。縦と横を出して掛ければ終わる。

$F$ を原点、辺 $FG$ を $x$ 軸の正の向き、辺 $FE$ を $y$ 軸の正の向きに取る。 $A$ は辺 $EF$ 上、 $B$ は辺 $FG$ 上、 $C$ は辺 $GH$ 上、 $D$ は辺 $HE$ 上にある。

三角形 $BCG$ は $G$ が直角で、斜辺が $BC = b$ 、 $∠ BCG = θ$ だから

CG = b cos θ, BG = b sin θ, ∠ CBG = \frac{π}{2} - θ

である。点 $B$ は直線 $FG$ 上にあるので、 $B$ のまわりで $∠ ABF + ∠ ABC + ∠ CBG = π$ が成り立つ。 $∠ ABC = \frac{π}{6}$ を使うと

∠ ABF = π - \frac{π}{6} - (\frac{π}{2} - θ) = \frac{π}{3} + θ

となる。三角形 $ABF$ は $F$ が直角で斜辺が $AB = a$ だから

BF = a cos (\frac{π}{3} + θ), AF = a sin (\frac{π}{3} + θ)

である。したがって長方形の2辺は

FG = BF + BG = a cos (\frac{π}{3} + θ) + b sin θ

FE = AF + CG = a sin (\frac{π}{3} + θ) + b cos θ

となる（ $FE$ は、 $D$ が辺 $HE$ 上にあることから $D = A + BC$ の $y$ 座標として確かめられる）。掛け合わせて

S = {a cos (\frac{π}{3} + θ) + b sin θ} {a sin (\frac{π}{3} + θ) + b cos θ} = \frac{a ^{2}}{2} sin (2 θ + \frac{2 π}{3}) + ab cos (\frac{π}{3} + θ - θ) \cdot 1 + \frac{b ^{2}}{2} sin 2 θ

を得る。真ん中の項は、 $cos (\frac{π}{3} + θ) cos θ + sin (\frac{π}{3} + θ) sin θ = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ という加法定理からきている。よって

S = \frac{a ^{2}}{2} sin (2 θ + \frac{2 π}{3}) + \frac{b ^{2}}{2} sin 2 θ + \frac{ab}{2}

である。なお $BF \geq 0$ と $BG \geq 0$ から $0 \leq θ \leq \frac{π}{6}$ であり、両端では $B$ が長方形の頂点と重なる。問題文が「辺はその両端の点も含む」と断っているので、この2つも許される。

$a = b = 1$ 、 $θ = \frac{π}{6}$ のとき、式は $\frac{1}{2} sin π + \frac{1}{2} sin \frac{π}{3} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = 0.9330 \dots$ 。座標から直接組み立てた長方形の面積も同じ値になる。

$∠ ABF$ を $\frac{π}{3} - θ$ としてしまう間違いが多い。 $B$ のまわりの3つの角の和が $π$ であることから丁寧に出す。

$θ$ の動く範囲 $0 \leq θ \leq \frac{π}{6}$ を (1) のうちに出しておく。(2) で最大値を取る位置が範囲の内か端かを分けるのに要る。

(2) $S$ のとりうる値の最大値を $a, b$ で表す

答 $a \leq b \leq 2 a$ のとき $\frac{ab}{2} + \frac{1}{2} a^{4} - a^{2} b^{2} + b^{4}$ 、 $b > 2 a$ のとき $\frac{3}{4} b^{2} + \frac{ab}{2}$

$sin$ の2つの項を合成して1つの $sin$ にまとめる。合成した角が範囲 $0 \leq θ \leq \frac{π}{6}$ の中で $\frac{π}{2}$ に届くかどうかで、最大値が内部で取れるか端で取れるかが分かれる。

(1) の式の $sin$ の部分を展開してまとめる。 $sin (2 θ + \frac{2 π}{3}) = - \frac{1}{2} sin 2 θ + \frac{3}{2} cos 2 θ$ だから

S - \frac{ab}{2} = \frac{2 b ^{2} - a ^{2}}{4} sin 2 θ + \frac{3 a ^{2}}{4} cos 2 θ

となる。これを合成する。振幅は

R = \frac{1}{4} (2 b^{2} - a^{2})^{2} + 3 a^{4} = \frac{1}{4} 4 (a^{4} - a^{2} b^{2} + b^{4}) = \frac{1}{2} a^{4} - a^{2} b^{2} + b^{4}

であり、 $S = \frac{ab}{2} + R sin (2 θ + φ)$ と書ける。ここで $φ$ は

cos φ = \frac{2 b ^{2} - a ^{2}}{4 R}, sin φ = \frac{3 a ^{2}}{4 R}

で定まる角である。 $a \leq b$ より $2 b^{2} - a^{2} \geq a^{2} > 0$ なので $0 < φ < \frac{π}{2}$ である。

$θ$ が $0$ から $\frac{π}{6}$ まで動くとき $2 θ + φ$ は $φ$ から $φ + \frac{π}{3}$ まで動く。 $S$ が最大になるのは $sin$ が $1$ になるとき、つまり $2 θ + φ = \frac{π}{2}$ のときで、これが範囲に入る条件は

φ \leq \frac{π}{2} \leq φ + \frac{π}{3} ⟺ φ \geq \frac{π}{6}

である。 $0 < φ < \frac{π}{2}$ だから、これは $tan φ \geq tan \frac{π}{6} = \frac{1}{3}$ と同じで

\frac{3 a ^{2}}{2 b ^{2} - a ^{2}} \geq \frac{1}{3} ⟺ 3 a^{2} \geq 2 b^{2} - a^{2} ⟺ b^{2} \leq 2 a^{2}

すなわち $b \leq 2 a$ となる。

$a \leq b \leq 2 a$ のとき。 最大値は $sin$ が $1$ を取る $θ$ で実現し

S_{m a x} = \frac{ab}{2} + \frac{1}{2} a^{4} - a^{2} b^{2} + b^{4}

$b > 2 a$ のとき。 $φ < \frac{π}{6}$ だから $2 θ + φ$ は $\frac{π}{2}$ に届かず、範囲の全体で $cos (2 θ + φ) > 0$ 、つまり $S$ は $θ$ について増加する。よって最大は右端 $θ = \frac{π}{6}$ で取り

S_{m a x} = \frac{a ^{2}}{2} sin π + \frac{b ^{2}}{2} sin \frac{π}{3} + \frac{ab}{2} = \frac{3}{4} b^{2} + \frac{ab}{2}

となる。

$a = b = 1$ なら $b \leq 2 a$ の側で $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} 1 - 1 + 1 = 1$ 。 $a = 1, b = 2$ なら $b > 2 a$ の側で $\frac{3}{4} \cdot 4 + 1 = 3 + 1 = 2.7320508 \dots$ 。どちらも $θ$ を20万点きざみで全探索した最大値と一致する。

合成したあと、 $sin$ が $1$ を取る角が範囲の中にあるかどうかを必ず調べる。調べずに振幅を足すと、 $b$ が大きいときに実現しない値を答えてしまう。

$(2 b^{2} - a^{2})^{2} + 3 a^{4} = 4 (a^{4} - a^{2} b^{2} + b^{4})$ の変形を1行で済ませない。展開して確かめておくと、根号の中の形に自信が持てる。

$a \leq b$ という条件は $2 b^{2} - a^{2} > 0$ 、つまり $φ$ が第1象限にあることに使っている。

2025年度の全5問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる東大理系数学 2027

東大理系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全3巻を見る¥2,695・168ページ・2026年8月2日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(1)∠BCG=θ のとき、長方形 EFGH の面積 S を a,b,θ で表す

(2)S のとりうる値の最大値を a,b で表す

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(1) $∠ BCG = θ$ のとき、長方形 $EFGH$ の面積 $S$ を $a, b, θ$ で表す

(2) $S$ のとりうる値の最大値を $a, b$ で表す