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東京大学　2025年度　前期日程　理科

第6問複素数平面の解答・解説

反転・軌跡・放物線・最大最小当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/11

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/05時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $C$ 上の $z$ に対し $\frac{1}{z}$ の実部が $1$ であることを示す

答 $C$ 上では $∣ z ∣^{2} = Re z$ となり、 $Re \frac{1}{z} = \frac{Re z}{∣ z ∣ ^{2}} = 1$

円の方程式を共役で書き直すと、 $z \overline{z}$ と $z + \overline{z}$ の関係になる。そこから $\frac{1}{z} = \frac{z}{∣ z ∣ ^{2}}$ の実部がすぐ出る。

$C$ は $z - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ から原点を除いたものである。両辺を2乗して共役で書くと

(z - \frac{1}{2}) \overline{(z - \frac{1}{2})} = \frac{1}{4} ⟺ z \overline{z} - \frac{z + z}{2} = 0

となる。 $z \overline{z} = ∣ z ∣^{2}$ 、 $\frac{z + z}{2} = Re z$ だから $∣ z ∣^{2} = Re z$ である。

$C$ 上では $z \neq = 0$ なので $\frac{1}{z} = \frac{z}{∣ z ∣ ^{2}}$ と書けて

Re \frac{1}{z} = \frac{Re z}{∣ z ∣ ^{2}} = \frac{Re z}{∣ z ∣ ^{2}} = \frac{∣ z ∣ ^{2}}{∣ z ∣ ^{2}} = 1

となる。

$z = 1$ は $C$ 上にあり $\frac{1}{z} = 1$ で実部 $1$ 。 $z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ も $C$ 上で、 $\frac{1}{z} = 1 - i$ の実部は $1$ 。

原点を除いてあるのは $\frac{1}{z}$ を考えるため。除外の理由を1行書いておく。

$Re \overline{z} = Re z$ である。共役を取っても実部は変わらない。

(2) $α, β$ が $C$ 上の相異なる複素数のとき、 $\frac{1}{α ^{2}} + \frac{1}{β ^{2}}$ のとりうる範囲を図示する

答放物線 $x = 2 - \frac{y ^{2}}{8}$ の左側の開いた領域、すなわち $Re w < 2 - \frac{( Im w ) ^{2}}{8}$

(1) より $\frac{1}{α}$ 、 $\frac{1}{β}$ は直線 $Re = 1$ 上を動く。そこで $\frac{1}{α} = 1 + s i$ 、 $\frac{1}{β} = 1 + t i$ と置けば、2乗の和は $s, t$ の対称式で書ける。対称式なので、和と平方和を変数に取り替えると条件が見やすくなる。

(1) より $\frac{1}{α}$ 、 $\frac{1}{β}$ の実部はどちらも $1$ だから、実数 $s, t$ を用いて $\frac{1}{α} = 1 + s i$ 、 $\frac{1}{β} = 1 + t i$ と書ける。

逆に、任意の実数 $s$ に対し $1 + s i \neq = 0$ なので $α = \frac{1}{1 + s i}$ が定まり、これは $C$ 上にある（ $α - \frac{1}{2} = \frac{1}{1 + s i} - \frac{1}{2} = \frac{1 - s i}{2 ( 1 + s i )} = \frac{1}{2}$ ）。つまり $s$ は実数全体を動く。また $α \neq = β$ は $s \neq = t$ と同値である。

このとき

w = \frac{1}{α ^{2}} + \frac{1}{β ^{2}} = (1 + s i)^{2} + (1 + t i)^{2} = (2 - s^{2} - t^{2}) + 2 (s + t) i

となる。 $w = x + y i$ とおくと $x = 2 - (s^{2} + t^{2})$ 、 $y = 2 (s + t)$ である。

$p = s + t$ 、 $q = s^{2} + t^{2}$ とおくと $p = \frac{y}{2}$ 、 $q = 2 - x$ である。 $s, t$ は2次方程式 $X^{2} - pX + \frac{p ^{2} - q}{2} = 0$ の2解だから、 $s, t$ が相異なる実数であることは判別式が正であること、すなわち

p^{2} - 4 \cdot \frac{p ^{2} - q}{2} > 0 ⟺ 2 q - p^{2} > 0 ⟺ q > \frac{p ^{2}}{2}

と同値である。 $p, q$ を $x, y$ に戻すと

2 - x > \frac{1}{2} (\frac{y}{2})^{2} = \frac{y ^{2}}{8} ⟺ x < 2 - \frac{y ^{2}}{8}

となる。逆にこの不等式をみたす $(x, y)$ に対しては $q > \frac{p ^{2}}{2}$ となる $p, q$ が定まり、相異なる実数 $s, t$ が取れる。

\frac{1}{α ^{2}} + \frac{1}{β ^{2}}

のとりうる範囲。放物線

x = 2 - \frac{y ^{2}}{8}

の左側で、境界は含まない（破線）。頂点は

(2, 0)

。

以上より、求める範囲は放物線 $x = 2 - \frac{y ^{2}}{8}$ の左側の領域（境界を含まない）である。

$s = 1, t = - 1$ なら $w = (1 + i)^{2} + (1 - i)^{2} = 2 i - 2 i = 0$ で、 $0 < 2 - 0$ をみたす。 $s = 0, t \to 0$ は $s \neq = t$ に反するが、 $s = 0, t = 0.01$ なら $w$ は $2$ のすぐ左に来る。

$s, t$ が相異なるという条件が判別式の正の不等号になる。等号を許すと境界まで入ってしまい、(3) の答えが変わる。

$s$ が実数全体を動くことを、逆向きの確認（ $α = \frac{1}{1 + s i}$ が $C$ 上にある）まで書く。書かないと「範囲」ではなく「必要条件」で終わる。

(3)(2) の範囲に属さない $γ$ について、 $Re \frac{1}{γ}$ の最大値と最小値を求める

答最大値 $\frac{1}{2}$ （ $γ = 2$ のとき）、最小値 $- \frac{1}{16}$ （ $γ = - 4 \pm 43 i$ のとき）

$γ = x + y i$ とおくと条件は $y^{2} \geq 16 - 8 x$ で、求めるものは $\frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}$ 。 $x$ を固定すると分母は $y^{2}$ が小さいほど小さいので、境界に乗せたときが端になる。そこから1変数の最大最小に落ちる。

$γ = x + y i$ （ $x, y$ は実数）とおく。(2) の範囲に属さないことは $x \geq 2 - \frac{y ^{2}}{8}$ 、すなわち

y^{2} \geq 16 - 8 x

と書ける。なお原点は $0 < 2$ をみたして (2) の範囲に入るので、 $γ \neq = 0$ である。このとき

Re \frac{1}{γ} = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}

である。 $x$ を固定して考える。分子 $x$ は $y$ によらないので、 $x > 0$ のときは分母が小さいほど値が大きく、 $x < 0$ のときは分母が小さいほど値が小さい。どちらの場合も $y^{2}$ を許される範囲で最小にしたときが端になる。

$x \geq 2$ なら $y^{2} \geq 16 - 8 x$ は $y = 0$ でもみたされ、そのとき $Re \frac{1}{γ} = \frac{1}{x} \leq \frac{1}{2}$ で、 $x = 2$ のとき $\frac{1}{2}$ を取る。

$x < 2$ なら $y^{2}$ の最小は $16 - 8 x$ で、そのとき

\frac{x}{x ^{2} + 16 - 8 x} = \frac{x}{( x - 4 ) ^{2}}

となる。そこで $x < 2$ で $g (x) = \frac{x}{( x - 4 ) ^{2}}$ の増減を調べる。

g^{'} (x) = \frac{( x - 4 ) ^{2} - x \cdot 2 ( x - 4 )}{( x - 4 ) ^{4}} = \frac{- ( x + 4 )}{( x - 4 ) ^{3}}

$x < 2$ では $(x - 4)^{3} < 0$ だから、 $g^{'} (x)$ の符号は $x + 4$ の符号と同じである。よって $x < - 4$ で減少、 $- 4 < x < 2$ で増加し、 $x = - 4$ で最小になる。

g (- 4) = \frac{- 4}{( - 8 ) ^{2}} = - \frac{1}{16}

$x \to - \infty$ では $g (x) \to 0^{-}$ なので、下に有界で最小値は $- \frac{1}{16}$ である。また $x \to 2^{-}$ では $g (x) \to \frac{1}{2}$ に近づくが、 $x = 2$ の場合は上で見たとおり $\frac{1}{2}$ をちょうど取る。

以上をまとめると、最大値は $\frac{1}{2}$ で $x = 2, y = 0$ 、つまり $γ = 2$ のとき。最小値は $- \frac{1}{16}$ で $x = - 4$ 、 $y^{2} = 16 + 32 = 48$ 、つまり $γ = - 4 \pm 43 i$ のときである。

どちらも条件をみたすことを確かめておく。 $γ = 2$ では $y^{2} = 0$ 、 $16 - 8 x = 0$ で等号が成り立ち、範囲に属さない。 $γ = - 4 + 43 i$ では $y^{2} = 48$ 、 $16 - 8 (- 4) = 48$ でこれも等号である。

$γ = 2$ では $\frac{1}{γ} = \frac{1}{2}$ で実部 $\frac{1}{2}$ 。 $γ = - 4 + 43 i$ では $∣ γ ∣^{2} = 16 + 48 = 64$ で $Re \frac{1}{γ} = \frac{- 4}{64} = - \frac{1}{16}$ 。格子による全探索でも、最大 $0.4951$ （ $x = 2.02$ の格子点）、最小 $- 0.06244$ （ $x = - 4.155$ の格子点）と、刻み幅のぶんだけずれた値に収まった。

(2) の範囲が境界を含まないので、その外側は境界を含む。最大も最小も境界上で取るため、ここを取り違えると「最大値なし」としてしまう。

$x$ を固定して $y^{2}$ を動かす、という2段階の押さえ方をする。2変数のまま微分しようとすると手間が増える。

$x < 2$ の側で $g$ は $x = - 4$ に極小を持つ。端の値だけを比べると最小値を取り逃がす。

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問題文について

(1)C 上の z に対し z1​ の実部が 1 であることを示す

(2)α,β が C 上の相異なる複素数のとき、α21​+β21​ のとりうる範囲を図示する

(3)(2) の範囲に属さない γ について、Reγ1​ の最大値と最小値を求める

同じ形式の問題を、5回分

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