第2問 極限の解答・解説

$f(x)=x-1-\log x$（$x>0$）とおくと

である。$0<x<1$ では $f^{\prime }(x)<0$、$x>1$ では $f^{\prime }(x)>0$ だから、$f$ は $x=1$ で最小になる。その最小値は $f(1)=1-1-\log 1=0$ である。

よって $x>0$ のとき $f(x)\ge 0$、すなわち $\log x\le x-1$ が成り立つ。等号は $x=1$ のときに限る。

$1\le x\le 2$ とし、$u=x^{\frac{1}{n}}$ とおく。$u>0$ である。$\log \frac{1+u}{2}$ を上下から挟む。

上から。 (1) の $\log s\le s-1$ に $s=\frac{1+u}{2}$ を入れると

下から。 (1) の不等式に $s=\frac{2}{1+u}$ を入れると $\log \frac{2}{1+u}\le \frac{2}{1+u}-1=\frac{1-u}{1+u}$ であり、左辺の符号を変えて

を得る。以上を $n$ 倍して $x$ で積分すると

となる。ここで $n\left(x^{\frac{1}{n}}-1\right)$ の振る舞いを押さえる。$x^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{\log x}{n}}$ であり、$h=\frac{\log x}{n}$ とおくと $n\left(x^{\frac{1}{n}}-1\right)=\log x\cdot \frac{e^h-1}{h}$ である。$1\le x\le 2$ なら $0\le h\le \frac{\log 2}{n}$ で、$n\to \infty$ のとき $h\to 0$ だから $\frac{e^h-1}{h}\to 1$ となり、これは $x$ の取り方によらず一様に成り立つ。

したがって右端は $\frac{1}{2}{\int }_1^2\log xdx$ に、左端は $x^{\frac{1}{n}}\to 1$ より分母が $2$ に近づくので同じ $\frac{1}{2}{\int }_1^2\log xdx$ に収束する。はさみうちの原理より、求める極限も同じ値である。

よって極限は $\log 2-\frac{1}{2}$ である。