大学別数学入試分析

九州大学　2026年度　前期日程　文科系

第3問整数・無理数の解答・解説

背理法・√2 が無理数であること・二項定理・偶数・奇数で分ける当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/06

問題文について

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掲載ページ名「試験問題、解答例等について」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1) $2$ が無理数であることを示す

答既約分数で表せると仮定すると、分子・分母がともに偶数になって既約性に反する（背理法）

方針「無理数である」はないことの証明なので、背理法を使う。有理数と仮定したときに「これ以上約分できない」という前提そのものを壊すのが一番短い。

$2$ が有理数だと仮定する。このとき互いに素な自然数 $p, q$ を使って $2 = \frac{q}{p}$ と書ける。

q^{2} = 2 p^{2}

右辺は偶数なので $q^{2}$ は偶数。 $q$ が奇数なら $q^{2}$ も奇数だから、 $q$ は偶数。 $q = 2 q^{'}$ とおくと

4 q^{' 2} = 2 p^{2} ⟹ p^{2} = 2 q^{' 2}

同じ理由で $p$ も偶数。すると $p, q$ がともに $2$ で割れることになり、互いに素としたことに反する。よって $2$ は無理数。

答案で省略しない方がよい点

「 $q^{2}$ が偶数 $\Rightarrow$ $q$ が偶数」は、対偶（ $q$ が奇数なら $q^{2}$ は奇数）を一言添えておく。ここを飛ばすと減点されやすい。
「互いに素な $p, q$ がとれる」ことを最初に断る。有理数の定義から言えるが、書いておかないと矛盾の落としどころが曖昧になる。

(2) $n$ を自然数とするとき、 $(2 + 1)^{n} + (2 - 1)^{n}$ が整数となるための $n$ の必要十分条件を求める

答 $n$ が偶数であること

方針2つを足すと、二項展開で $2$ の奇数乗か偶数乗のどちらか一方だけが残る。どちらが残るかは $n$ の偶奇で決まるので、そこで切り分ければ「整数になる／ならない」が同時に言える。

二項定理で両方を展開して足すと

(2 + 1)^{n} + (2 - 1)^{n} = \sum_{j = 0}^{n}_{n} C_{j} (2)^{j} {1 + (- 1)^{n - j}}

${}$ の中は $n - j$ が偶数のとき $2$ 、奇数のとき $0$ 。つまり $j$ が $n$ と同じ偶奇のときだけ項が残る。

$n$ が偶数のとき … 残るのは $j$ が偶数の項だけ。 $(2)^{j} = 2^{j /2}$ は整数なので、全体は整数
$n$ が奇数のとき … 残るのは $j$ が奇数の項だけ。 $(2)^{j} = 2^{(j - 1) /2} 2$ なので、全体は $2$ の整数倍

$n$ が奇数のときの値を $M 2$ と書くと

M = 2 \sum_{j : 奇数}_{n} C_{j} 2^{(j - 1) /2}

すべての項が正だから $M$ は正の整数。もし $M 2$ が整数 $N$ なら $2 = \frac{N}{M}$ となって (1) に反する。よって整数にならない。

以上より、整数になるのは $n$ が偶数のときに限る。

別解漸化式で押さえる

$a = 2 + 1, b = 2 - 1$ とおくと $a + b = 22$ 、 $ab = 1$ 。 $S_{n} = a^{n} + b^{n}$ は

S_{n} = 22 S_{n - 1} - S_{n - 2} (n \geq 3)

$S_{1} = 22$ 、 $S_{2} = 6$ から始めると、 $2$ の係数と定数項が1つおきに入れ替わる。 $n$ が偶数なら定数項だけ、奇数なら $2$ の項だけが残ることを帰納法で示せる。

この見方だと、偶数番目の値 $6, 34, 198, 1154, \dots$ が $S_{2 m} = 6 S_{2 m - 2} - S_{2 m - 4}$ をみたすこともすぐ出る。

検算

$n = 1$ で $22 = 2.828 \dots$ 、 $n = 2$ で $6$ 、 $n = 3$ で $102 = 14.142 \dots$ 、 $n = 4$ で $34$ 。偶数のときだけ整数になっている。

答案で省略しない方がよい点

必要十分条件を聞かれている。「偶数なら整数」だけでは足りず、「奇数なら整数でない」も示す。後者で (1) を使う。
$2$ の整数倍が整数にならないことは、(1) がないと言えない。(1) を引用する形にする。
$(2 - 1)^{n}$ は $0$ に近い正の数だが、 $0$ ではない。「ほぼ $0$ だから無視」とは書けない。

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