九州大学　2026年度　前期日程　文科系

九大文系 2026年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/06

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は九州大学が公開しています。

問題文を見る（九州大学公式・外部サイト）

掲載ページ名「試験問題、解答例等について」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

第1問　微分積分

3次関数の極値・絶対値つきの放物線・面積・場合分けして積分当サイトの体感難易度：標準

(1) $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 1$ が極値をとる $x$ と、そのときの極値を求める

答 $x = - 3$ で極大値 $82$ 、 $x = 2$ で極小値 $- 43$

方針3次関数の極値は $f^{'} (x) = 0$ の解でしか起こらない。 $f^{'}$ が因数分解できる形なので、符号の変化まで一息で読める。

f^{'} (x) = 6 x^{2} + 6 x - 36 = 6 (x^{2} + x - 6) = 6 (x + 3) (x - 2)

$f^{'} (x) = 0$ の解は $x = - 3, 2$ 。 $f^{'}$ は下に凸の放物線なので、符号は正・負・正と変わる。だから $x = - 3$ で極大、 $x = 2$ で極小。

f (- 3) = - 54 + 27 + 108 + 1 = 82, f (2) = 16 + 12 - 72 + 1 = - 43

検算

$f (- 4) = - 128 + 48 + 144 + 1 = 65 < 82$ 、 $f (- 2) = - 16 + 12 + 72 + 1 = 69 < 82$ で $x = - 3$ が山。 $f (1) = 2 + 3 - 36 + 1 = - 30 > - 43$ 、 $f (3) = 54 + 27 - 108 + 1 = - 26 > - 43$ で $x = 2$ が谷。

答案で省略しない方がよい点

「極値をとる $x$ 」と「極値」の両方を聞かれている。 $x$ だけで止めない。
$f^{'} (x) = 0$ は極値の必要条件にすぎない。3次関数では重解のとき極値を持たないので、符号が実際に変わることまで示す。

(2) $C : y = ∣ x^{2} - 1∣$ と、点 $(- 1, 0)$ を通る傾き $1$ の直線 $l$ で囲まれる領域の面積を求める

答 $\frac{13}{6}$

方針 $∣ x^{2} - 1∣$ は $∣ x ∣ \leq 1$ と $∣ x ∣ \geq 1$ で式が変わる。絶対値を外す前に交点を全部押さえてから、区間ごとにどちらが上かを決めて積分する。

$l$ は $y = x + 1$ 。なお $(- 1, 0)$ は $C$ 上の点でもある（ $∣1 - 1∣ = 0$ ）。

$∣ x ∣ \geq 1$ のとき $x^{2} - 1 = x + 1$ より $x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1) = 0$ 、つまり $x = 2, - 1$ 。どちらも $∣ x ∣ \geq 1$ をみたす
$∣ x ∣ \leq 1$ のとき $1 - x^{2} = x + 1$ より $x^{2} + x = x (x + 1) = 0$ 、つまり $x = 0, - 1$
合わせて交点は $x = - 1, 0, 2$ の3つ

交点が3つあるので、囲まれる部分は $[- 1, 0]$ と $[0, 2]$ の2つに分かれる。上下はそれぞれの区間の中では入れ替わらないので、代表点1つで判定できる。

$x = - \frac{1}{2}$ では $C$ が $\frac{3}{4}$ 、 $l$ が $\frac{1}{2}$ で $C$ が上。 $x = 1$ では $C$ が $0$ 、 $l$ が $2$ で $l$ が上。

S_{1} = \int_{- 1}^{0} {(1 - x^{2}) - (x + 1)} d x = \int_{- 1}^{0} (- x^{2} - x) d x = [- \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2}]_{- 1}^{0} = \frac{1}{6}

$[0, 2]$ は $x = 1$ で式が切り替わるので、さらに2つに分ける。

\int_{0}^{1} {(x + 1) - (1 - x^{2})} d x = \int_{0}^{1} (x^{2} + x) d x = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

\int_{1}^{2} {(x + 1) - (x^{2} - 1)} d x = \int_{1}^{2} (- x^{2} + x + 2) d x = [- \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + 2 x]_{1}^{2} = \frac{20}{6} - \frac{13}{6} = \frac{7}{6}

S = S_{1} + \frac{5}{6} + \frac{7}{6} = \frac{1}{6} + 2 = \frac{13}{6}

別解

\frac{1}{6}

公式を使う

2次関数と直線が $α < β$ で交わるとき、挟まれた面積は $\frac{∣ a ∣}{6} (β - α)^{3}$ （ $a$ は2次の係数）。

$[- 1, 0]$ は $a = - 1$ 、 $β - α = 1$ なので $\frac{1}{6}$ 。 $[0, 1]$ と $[1, 2]$ は放物線が途中で入れ替わるため、この公式をそのまま全体に当てることはできない。区間を切ってから使う。

検算

$[0, 2]$ の部分だけなら $\frac{5}{6} + \frac{7}{6} = 2$ とちょうど整数になる。 $[- 1, 0]$ の部分は、差が $- x^{2} - x = - x (x + 1)$ という $x$ 軸と2交点を持つ放物線なので、 $\frac{1}{6} (0 - (- 1))^{3} = \frac{1}{6}$ （ $\frac{1}{6}$ 公式）でも出る。

答案で省略しない方がよい点

交点が3つあるので、 $x = - 1$ と $x = 2$ だけを見て一気に積分すると $[- 1, 0]$ の上下が逆になり、値がずれる。
$x = 1$ で $∣ x^{2} - 1∣$ の式が変わる。 $[0, 2]$ を一本の積分で書かない。
$(- 1, 0)$ は $C$ と $l$ の交点でもある。「直線が通る点」と「交点」を別物として数えない。

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第2問　空間ベクトル

平面の法線ベクトル・外積にあたる計算・点と平面の距離・四面体の体積当サイトの体感難易度：標準

(1)球面 $S$ 上にあり、 $OP$ が平面 $α$ と直交し、 $y$ 座標が $- 1$ 以下である点 $P$ の座標を求める

答 $P (1, - 2, - 1)$

方針「直線 $OP$ が $α$ と直交する」は「 $OP$ が $α$ の法線ベクトルと平行」と言い換えられる。法線が決まれば $P$ は1つの文字で書けるので、あとは球面の式に入れるだけ。

$AB = (1, 1, - 1)$ 、 $AC = (3, 1, 1)$ 。法線 $n = (a, b, c)$ は $n \cdot AB = n \cdot AC = 0$ 、つまり

a + b - c = 0, 3 a + b + c = 0

辺々足して $4 a + 2 b = 0$ より $b = - 2 a$ 。これを1本目に入れて $c = a + b = - a$ 。 $a = 1$ として $n = (1, - 2, - 1)$ 。

$OP = t n = (t, - 2 t, - t)$ とおき、 $S$ の式に代入する。

(t - 1)^{2} + (- 2 t + 1)^{2} + (- t + 1)^{2} = 6 t^{2} - 8 t + 3 = 1

3 t^{2} - 4 t + 1 = (3 t - 1) (t - 1) = 0 ⟹ t = \frac{1}{3}, 1

$t = \frac{1}{3}$ なら $y$ 座標は $- \frac{2}{3} > - 1$ で条件に合わない。 $t = 1$ のとき $y = - 2 \leq - 1$ で合う。

検算

$(1 - 1)^{2} + (- 2 + 1)^{2} + (- 1 + 1)^{2} = 1$ なので $P$ は確かに $S$ 上。 $OP \cdot AB = 1 - 2 + 1 = 0$ 、 $OP \cdot AC = 3 - 2 - 1 = 0$ で、 $α$ と直交している。

答案で省略しない方がよい点

$y \leq - 1$ という条件は、2つ出てくる候補のどちらを採るかを決めるためのもの。解が2つ出た時点で捨ててはいけない。
法線は向きと長さが自由なので、 $n = (- 1, 2, 1)$ でもよい。その場合 $t$ の符号が反転するだけで $P$ は同じ。

(2) $P$ から $α$ に下ろした垂線の足 $H$ について、 $OH = OA + s AB + t AC$ をみたす $s, t$ を求める

答 $s = \frac{1}{6}, t = - \frac{1}{2}$

方針 $PH$ も $OP$ も $α$ の法線と平行だから、 $O, P, H$ は同一直線上にある。つまり $H$ は「直線 $OP$ と $α$ の交点」として先に座標が出せる。

$n = (1, - 2, - 1)$ 、 $A (1, 1, 1)$ から $α$ の方程式は

(x - 1) - 2 (y - 1) - (z - 1) = 0 ⟺ x - 2 y - z + 2 = 0

$H = k (1, - 2, - 1)$ と書けるので代入して $k + 4 k + k + 2 = 0$ 、 $k = - \frac{1}{3}$ 。

H (- \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})

これを $OA + s AB + t AC = (1 + s + 3 t, 1 + s + t, 1 - s + t)$ と見比べる。

$y$ 成分 … $1 + s + t = \frac{2}{3}$ より $s + t = - \frac{1}{3}$
$z$ 成分 … $1 - s + t = \frac{1}{3}$ より $- s + t = - \frac{2}{3}$
辺々足して $2 t = - 1$ 、 $t = - \frac{1}{2}$ 。戻して $s = \frac{1}{6}$

$x$ 成分は使っていないので検算に回せる。 $1 + \frac{1}{6} - \frac{3}{2} = \frac{6 + 1 - 9}{6} = - \frac{1}{3}$ で合う。

別解

s, t

を直接連立する

$H$ の座標を出さず、 $PH \cdot AB = 0$ と $PH \cdot AC = 0$ の2本から直接 $s, t$ を出してもよい。 $α$ の方程式を立てずに済む。

$AP = (0, - 3, - 2)$ なので $PH = s AB + t AC - AP$ 。内積は $∣ AB ∣^{2} = 3$ 、 $∣ AC ∣^{2} = 11$ 、 $AB \cdot AC = 3$ 、 $AP \cdot AB = - 1$ 、 $AP \cdot AC = - 5$ 。

3 s + 3 t + 1 = 0, 3 s + 11 t + 5 = 0

辺々引いて $8 t + 4 = 0$ 、 $t = - \frac{1}{2}$ 。戻して $s = \frac{1}{6}$ となり、同じ答えが出る。

検算

$PH = H - P = (- \frac{4}{3}, \frac{8}{3}, \frac{4}{3}) = - \frac{4}{3} (1, - 2, - 1)$ で、確かに法線と平行。

答案で省略しない方がよい点

$H$ は $O, P$ と同一直線上にある。これに気づかずに $P$ から垂線を一般に下ろそうとすると、式が一気に重くなる。
基準点が $O$ ではなく $A$ であることに注意。 $OH = OA + \dots$ の形を崩さない。

(3)四面体 $ABCP$ の体積を求める

答 $\frac{8}{3}$

方針底面を $△ ABC$ にとれば、高さはちょうど (2) で出した $PH$ の長さになる。(1)(2) がそのまま効く形。

$∣ AB ∣^{2} = 3$ 、 $∣ AC ∣^{2} = 11$ 、 $AB \cdot AC = 3 + 1 - 1 = 3$ なので

△ ABC = \frac{1}{2} ∣ AB ∣^{2} ∣ AC ∣^{2} - (AB \cdot AC)^{2} = \frac{1}{2} 33 - 9 = \frac{1}{2} \cdot 26 = 6

高さは点 $P (1, - 2, - 1)$ と平面 $x - 2 y - z + 2 = 0$ の距離。

PH = \frac{∣1 + 4 + 1 + 2∣}{1 ^{2} + ( - 2 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{8}{6}

V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{8}{6} = \frac{8}{3}

検算

(2) で出した $PH = - \frac{4}{3} (1, - 2, - 1)$ の長さは $\frac{4}{3} 6 = \frac{8}{6}$ で一致する。別ルートとして、 $AP = (0, - 3, - 2)$ を使った $V = \frac{1}{6} det (AB, AC, AP) = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$ でも同じ。

答案で省略しない方がよい点

$6$ が約分で消えるので、 $△ ABC$ と高さを別々に小数にしてから掛けると誤差が出る。分数のまま進める。
点と平面の距離の式は、平面を $a x + b y + cz + d = 0$ の形にそろえてから使う。 $= 0$ に移しておかないと符号を落とす。

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第3問　整数・無理数

背理法・√2 が無理数であること・二項定理・偶数・奇数で分ける当サイトの体感難易度：標準

(1) $2$ が無理数であることを示す

答既約分数で表せると仮定すると、分子・分母がともに偶数になって既約性に反する（背理法）

方針「無理数である」はないことの証明なので、背理法を使う。有理数と仮定したときに「これ以上約分できない」という前提そのものを壊すのが一番短い。

$2$ が有理数だと仮定する。このとき互いに素な自然数 $p, q$ を使って $2 = \frac{q}{p}$ と書ける。

q^{2} = 2 p^{2}

右辺は偶数なので $q^{2}$ は偶数。 $q$ が奇数なら $q^{2}$ も奇数だから、 $q$ は偶数。 $q = 2 q^{'}$ とおくと

4 q^{' 2} = 2 p^{2} ⟹ p^{2} = 2 q^{' 2}

同じ理由で $p$ も偶数。すると $p, q$ がともに $2$ で割れることになり、互いに素としたことに反する。よって $2$ は無理数。

答案で省略しない方がよい点

「 $q^{2}$ が偶数 $\Rightarrow$ $q$ が偶数」は、対偶（ $q$ が奇数なら $q^{2}$ は奇数）を一言添えておく。ここを飛ばすと減点されやすい。
「互いに素な $p, q$ がとれる」ことを最初に断る。有理数の定義から言えるが、書いておかないと矛盾の落としどころが曖昧になる。

(2) $n$ を自然数とするとき、 $(2 + 1)^{n} + (2 - 1)^{n}$ が整数となるための $n$ の必要十分条件を求める

答 $n$ が偶数であること

方針2つを足すと、二項展開で $2$ の奇数乗か偶数乗のどちらか一方だけが残る。どちらが残るかは $n$ の偶奇で決まるので、そこで切り分ければ「整数になる／ならない」が同時に言える。

二項定理で両方を展開して足すと

(2 + 1)^{n} + (2 - 1)^{n} = \sum_{j = 0}^{n}_{n} C_{j} (2)^{j} {1 + (- 1)^{n - j}}

${}$ の中は $n - j$ が偶数のとき $2$ 、奇数のとき $0$ 。つまり $j$ が $n$ と同じ偶奇のときだけ項が残る。

$n$ が偶数のとき … 残るのは $j$ が偶数の項だけ。 $(2)^{j} = 2^{j /2}$ は整数なので、全体は整数
$n$ が奇数のとき … 残るのは $j$ が奇数の項だけ。 $(2)^{j} = 2^{(j - 1) /2} 2$ なので、全体は $2$ の整数倍

$n$ が奇数のときの値を $M 2$ と書くと

M = 2 \sum_{j : 奇数}_{n} C_{j} 2^{(j - 1) /2}

すべての項が正だから $M$ は正の整数。もし $M 2$ が整数 $N$ なら $2 = \frac{N}{M}$ となって (1) に反する。よって整数にならない。

以上より、整数になるのは $n$ が偶数のときに限る。

別解漸化式で押さえる

$a = 2 + 1, b = 2 - 1$ とおくと $a + b = 22$ 、 $ab = 1$ 。 $S_{n} = a^{n} + b^{n}$ は

S_{n} = 22 S_{n - 1} - S_{n - 2} (n \geq 3)

$S_{1} = 22$ 、 $S_{2} = 6$ から始めると、 $2$ の係数と定数項が1つおきに入れ替わる。 $n$ が偶数なら定数項だけ、奇数なら $2$ の項だけが残ることを帰納法で示せる。

この見方だと、偶数番目の値 $6, 34, 198, 1154, \dots$ が $S_{2 m} = 6 S_{2 m - 2} - S_{2 m - 4}$ をみたすこともすぐ出る。

検算

$n = 1$ で $22 = 2.828 \dots$ 、 $n = 2$ で $6$ 、 $n = 3$ で $102 = 14.142 \dots$ 、 $n = 4$ で $34$ 。偶数のときだけ整数になっている。

答案で省略しない方がよい点

必要十分条件を聞かれている。「偶数なら整数」だけでは足りず、「奇数なら整数でない」も示す。後者で (1) を使う。
$2$ の整数倍が整数にならないことは、(1) がないと言えない。(1) を引用する形にする。
$(2 - 1)^{n}$ は $0$ に近い正の数だが、 $0$ ではない。「ほぼ $0$ だから無視」とは書けない。

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第4問　確率・漸化式

最初の1回で分ける・3項間漸化式・特性方程式・等比数列との差当サイトの体感難易度：やや難

(1) $p_{1}, p_{2}$ を求める

答 $p_{1} = (1 - r)^{3}, p_{2} = (1 - r)^{4}$

方針玉の位置は、先頭から順に投げた結果で決まっていく。左から数えて何番目が黒かは、そこまでに置かれた玉の個数で決まる。

$p_{1}$ は1,2,3番目がすべて黒。黒は1回の裏で1個ずつ置かれるので、最初の3回がすべて裏であることと同じ。よって $(1 - r)^{3}$ 。

$p_{2}$ は2,3,4番目が黒。1回目が表だと1,2番目が白になって2番目が黒にならないので、1回目は裏。そのあとは「1,2,3番目が黒」と同じ状況だから

p_{2} = (1 - r) p_{1} = (1 - r)^{4}

答案で省略しない方がよい点

表を出すと玉が2個置かれる。何回目の投げが何番目の玉になるかは、表の回数で変わる。

(2)1, $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ 番目がすべて黒である確率を $p_{n - 1}$ で表す

答 $(1 - r) p_{n - 1}$

方針1番目が黒 ⟺ 1回目が裏。そのあとの列は同じ規則の新しい列とみなせて、全体の $n$ 番目が新しい列の $n - 1$ 番目になる。

1番目が黒になるのは1回目が裏のときだけで、確率 $1 - r$ 。このとき玉が1個置かれているので、2番目以降は、新しく始めた列の1番目以降と同じ。

全体の $n, n + 1, n + 2$ 番目は、新しい列の $n - 1, n, n + 1$ 番目にあたる。これがすべて黒である確率は $p_{n - 1}$ 。2回目以降の投げは1回目と独立だから

(1 - r) p_{n - 1}

(3) $n \geq 3$ のとき $p_{n}$ を $p_{n - 2}, p_{n - 1}$ で表す

答 $p_{n} = (1 - r) p_{n - 1} + r p_{n - 2}$

方針1番目が黒か白かで分ける。黒なら (2) がそのまま使え、白なら玉が2個進むので添字が2つ下がる。

1番目が黒（1回目が裏、確率 $1 - r$ ）… (2) より寄与は $(1 - r) p_{n - 1}$
1番目が白（1回目が表、確率 $r$ ）… 1,2番目が白で埋まる。 $n, n + 1, n + 2$ 番目は新しい列の $n - 2, n - 1, n$ 番目にあたるので、寄与は $r p_{n - 2}$

p_{n} = (1 - r) p_{n - 1} + r p_{n - 2} (n \geq 3)

答案で省略しない方がよい点

表のときは玉が2個置かれるので、添字は1つではなく2つ下がる。ここが $p_{n - 2}$ の出どころ。

(4) $p_{n}$ を求める

答 $p_{n} = \frac{( 1 - r ) ^{3} { 1 - ( - r ) ^{n} }}{1 + r}$

方針特性方程式が $x^{2} - (1 - r) x - r = 0$ 、つまり $(x - 1) (x + r) = 0$ と因数分解できる。解が $1$ と $- r$ なので、一般項は定数＋等比の形。

x^{2} - (1 - r) x - r = (x - 1) (x + r) = 0 ⟹ x = 1, - r

$p_{n} = A + B (- r)^{n}$ とおいて $p_{1}, p_{2}$ を入れ、差をとる。

p_{2} - p_{1} = B {(- r)^{2} - (- r)} = B r (1 + r)

一方 $p_{2} - p_{1} = (1 - r)^{4} - (1 - r)^{3} = - r (1 - r)^{3}$ だから、見比べて

B = - \frac{( 1 - r ) ^{3}}{1 + r}, A = p_{1} + B r = \frac{( 1 - r ) ^{3}}{1 + r}

よって

p_{n} = \frac{( 1 - r ) ^{3}}{1 + r} {1 - (- r)^{n}}

検算

$n = 1$ で $\frac{( 1 - r ) ^{3}}{1 + r} (1 + r) = (1 - r)^{3}$ 、 $n = 2$ で $\frac{( 1 - r ) ^{3}}{1 + r} (1 - r^{2}) = (1 - r)^{4}$ 。どちらも (1) と合う。 $n = 3$ は $(1 - r)^{3} (1 - r + r^{2})$ で、漸化式から出る値とも一致する。