九州大学　2026年度　前期日程　文科系

第2問空間ベクトルの解答・解説

平面の法線ベクトル・外積にあたる計算・点と平面の距離・四面体の体積当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/06

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は九州大学が公開しています。

問題文を見る（九州大学公式・外部サイト）

掲載ページ名「試験問題、解答例等について」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1)球面 $S$ 上にあり、 $OP$ が平面 $α$ と直交し、 $y$ 座標が $- 1$ 以下である点 $P$ の座標を求める

答 $P (1, - 2, - 1)$

方針「直線 $OP$ が $α$ と直交する」は「 $OP$ が $α$ の法線ベクトルと平行」と言い換えられる。法線が決まれば $P$ は1つの文字で書けるので、あとは球面の式に入れるだけ。

$AB = (1, 1, - 1)$ 、 $AC = (3, 1, 1)$ 。法線 $n = (a, b, c)$ は $n \cdot AB = n \cdot AC = 0$ 、つまり

a + b - c = 0, 3 a + b + c = 0

辺々足して $4 a + 2 b = 0$ より $b = - 2 a$ 。これを1本目に入れて $c = a + b = - a$ 。 $a = 1$ として $n = (1, - 2, - 1)$ 。

$OP = t n = (t, - 2 t, - t)$ とおき、 $S$ の式に代入する。

(t - 1)^{2} + (- 2 t + 1)^{2} + (- t + 1)^{2} = 6 t^{2} - 8 t + 3 = 1

3 t^{2} - 4 t + 1 = (3 t - 1) (t - 1) = 0 ⟹ t = \frac{1}{3}, 1

$t = \frac{1}{3}$ なら $y$ 座標は $- \frac{2}{3} > - 1$ で条件に合わない。 $t = 1$ のとき $y = - 2 \leq - 1$ で合う。

検算

$(1 - 1)^{2} + (- 2 + 1)^{2} + (- 1 + 1)^{2} = 1$ なので $P$ は確かに $S$ 上。 $OP \cdot AB = 1 - 2 + 1 = 0$ 、 $OP \cdot AC = 3 - 2 - 1 = 0$ で、 $α$ と直交している。

答案で省略しない方がよい点

$y \leq - 1$ という条件は、2つ出てくる候補のどちらを採るかを決めるためのもの。解が2つ出た時点で捨ててはいけない。
法線は向きと長さが自由なので、 $n = (- 1, 2, 1)$ でもよい。その場合 $t$ の符号が反転するだけで $P$ は同じ。

(2) $P$ から $α$ に下ろした垂線の足 $H$ について、 $OH = OA + s AB + t AC$ をみたす $s, t$ を求める

答 $s = \frac{1}{6}, t = - \frac{1}{2}$

方針 $PH$ も $OP$ も $α$ の法線と平行だから、 $O, P, H$ は同一直線上にある。つまり $H$ は「直線 $OP$ と $α$ の交点」として先に座標が出せる。

$n = (1, - 2, - 1)$ 、 $A (1, 1, 1)$ から $α$ の方程式は

(x - 1) - 2 (y - 1) - (z - 1) = 0 ⟺ x - 2 y - z + 2 = 0

$H = k (1, - 2, - 1)$ と書けるので代入して $k + 4 k + k + 2 = 0$ 、 $k = - \frac{1}{3}$ 。

H (- \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})

これを $OA + s AB + t AC = (1 + s + 3 t, 1 + s + t, 1 - s + t)$ と見比べる。

$y$ 成分 … $1 + s + t = \frac{2}{3}$ より $s + t = - \frac{1}{3}$
$z$ 成分 … $1 - s + t = \frac{1}{3}$ より $- s + t = - \frac{2}{3}$
辺々足して $2 t = - 1$ 、 $t = - \frac{1}{2}$ 。戻して $s = \frac{1}{6}$

$x$ 成分は使っていないので検算に回せる。 $1 + \frac{1}{6} - \frac{3}{2} = \frac{6 + 1 - 9}{6} = - \frac{1}{3}$ で合う。

別解

s, t

を直接連立する

$H$ の座標を出さず、 $PH \cdot AB = 0$ と $PH \cdot AC = 0$ の2本から直接 $s, t$ を出してもよい。 $α$ の方程式を立てずに済む。

$AP = (0, - 3, - 2)$ なので $PH = s AB + t AC - AP$ 。内積は $∣ AB ∣^{2} = 3$ 、 $∣ AC ∣^{2} = 11$ 、 $AB \cdot AC = 3$ 、 $AP \cdot AB = - 1$ 、 $AP \cdot AC = - 5$ 。

3 s + 3 t + 1 = 0, 3 s + 11 t + 5 = 0

辺々引いて $8 t + 4 = 0$ 、 $t = - \frac{1}{2}$ 。戻して $s = \frac{1}{6}$ となり、同じ答えが出る。

検算

$PH = H - P = (- \frac{4}{3}, \frac{8}{3}, \frac{4}{3}) = - \frac{4}{3} (1, - 2, - 1)$ で、確かに法線と平行。

答案で省略しない方がよい点

$H$ は $O, P$ と同一直線上にある。これに気づかずに $P$ から垂線を一般に下ろそうとすると、式が一気に重くなる。
基準点が $O$ ではなく $A$ であることに注意。 $OH = OA + \dots$ の形を崩さない。

(3)四面体 $ABCP$ の体積を求める

答 $\frac{8}{3}$

方針底面を $△ ABC$ にとれば、高さはちょうど (2) で出した $PH$ の長さになる。(1)(2) がそのまま効く形。

$∣ AB ∣^{2} = 3$ 、 $∣ AC ∣^{2} = 11$ 、 $AB \cdot AC = 3 + 1 - 1 = 3$ なので

△ ABC = \frac{1}{2} ∣ AB ∣^{2} ∣ AC ∣^{2} - (AB \cdot AC)^{2} = \frac{1}{2} 33 - 9 = \frac{1}{2} \cdot 26 = 6

高さは点 $P (1, - 2, - 1)$ と平面 $x - 2 y - z + 2 = 0$ の距離。

PH = \frac{∣1 + 4 + 1 + 2∣}{1 ^{2} + ( - 2 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{8}{6}

V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{8}{6} = \frac{8}{3}

検算

(2) で出した $PH = - \frac{4}{3} (1, - 2, - 1)$ の長さは $\frac{4}{3} 6 = \frac{8}{6}$ で一致する。別ルートとして、 $AP = (0, - 3, - 2)$ を使った $V = \frac{1}{6} det (AB, AC, AP) = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$ でも同じ。