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九州大学　2025年度　前期日程　文科系

第1問微分法の解答・解説

共通接線・接線の方程式・4次方程式・因数分解当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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掲載ページ名「試験問題、解答例等について」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

2つの曲線 $y = x^{3} + x^{2} - x - 1$ 、 $y = x^{2}$ の両方に接するすべての直線の方程式を求める

答 $y = 0$ と $y = 4 x - 4$

放物線 $y = x^{2}$ に接する直線は、傾きを $m$ とすると $y = m x - \frac{m ^{2}}{4}$ の形に限られる。これと「3次曲線の接線」が一致する条件を $t$ （3次曲線の接点）の式にする。

放物線の接線。 $y = x^{2}$ の $x = s$ での接線は $y = 2 s x - s^{2}$ である。傾きを $m = 2 s$ とおくと $s = \frac{m}{2}$ で

y = m x - \frac{m ^{2}}{4}

となる。つまり「傾き $m$ 、 $y$ 切片 $b$ の直線が $y = x^{2}$ に接する」 $⟺$ $b = - \frac{m ^{2}}{4}$ である。

3次曲線の接線。 $f (x) = x^{3} + x^{2} - x - 1$ 、 $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1$ である。 $x = t$ での接線は $y = f (t) + f^{'} (t) (x - t)$ で、

m b = f^{'} (t) = 3 t^{2} + 2 t - 1 = f (t) - t f^{'} (t) = (t^{3} + t^{2} - t - 1) - t (3 t^{2} + 2 t - 1) = - 2 t^{3} - t^{2} - 1

である。

条件を立てる。 $b = - \frac{m ^{2}}{4}$ に代入して

- 2 t^{3} - t^{2} - 1 = - \frac{( 3 t ^{2} + 2 t - 1 ) ^{2}}{4}

すなわち

4 (2 t^{3} + t^{2} + 1) = (3 t^{2} + 2 t - 1)^{2}

である。右辺を展開すると

9 t^{4} + 12 t^{3} - 2 t^{2} - 4 t + 1

なので、移項して整理すると

9 t^{4} + 4 t^{3} - 6 t^{2} - 4 t - 3 = 0

となる。

解く。 $t = 1$ を代入すると $9 + 4 - 6 - 4 - 3 = 0$ で成り立つ。 $t = - 1$ でも $9 - 4 - 6 + 4 - 3 = 0$ で成り立つ。よって $(t - 1) (t + 1) = t^{2} - 1$ で割れて

9 t^{4} + 4 t^{3} - 6 t^{2} - 4 t - 3 = (t - 1) (t + 1) (9 t^{2} + 4 t + 3)

である。 $9 t^{2} + 4 t + 3$ の判別式は $16 - 108 = - 92 < 0$ なので実数解をもたない。したがって $t = \pm 1$ だけである。

接線を書く。

$t = 1$ ： $m = 3 + 2 - 1 = 4$ 、 $b = - 2 - 1 - 1 = - 4$ 。直線 $y = 4 x - 4$
$t = - 1$ ： $m = 3 - 2 - 1 = 0$ 、 $b = 2 - 1 - 1 = 0$ 。直線 $y = 0$

である。それぞれ放物線との接点は $x = \frac{m}{2}$ 、すなわち $x = 2$ と $x = 0$ である。

3次曲線

y = x^{3} + x^{2} - x - 1

（

x = - 1

で重解をもち、そこで

x

軸に接する）と放物線

y = x^{2}

、そして2本の共通接線

y = 0

、

y = 4 x - 4

。

y = 0

は3次曲線に

(- 1, 0)

で、放物線に

(0, 0)

で接する。

y = 4 x - 4

は3次曲線に

(1, 0)

で、放物線に

(2, 4)

で接する。

$t$ を $- 4$ から $4$ まで $80$ 万点に刻んで $b + \frac{m ^{2}}{4} = 0$ となる $t$ を探すと $t = 1, - 1$ の2つだけだった。得られた2直線は、どちらも3次曲線と放物線の両方に接していた。

放物線の接線は「 $b = - \frac{m ^{2}}{4}$ 」の1本の式にまとまる。接点 $s$ を残したまま2変数で連立すると手間が増える。

「両方に接する」なので、3次曲線とは接するが放物線とはただ交わるだけ、という直線は数えない。

$t = \pm 1$ がすぐ見つかる。 $f (x) = x^{3} + x^{2} - x - 1 = (x - 1) (x + 1)^{2}$ と因数分解できるので、 $x = \pm 1$ は $x$ 軸との交点である。

$9 t^{2} + 4 t + 3$ が実数解をもたないことまで言って、「これですべて」と締める。

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2つの曲線 y=x3+x2−x−1、y=x2 の両方に接するすべての直線の方程式を求める

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