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九州大学　2025年度　前期日程　文科系

第2問図形の解答・解説

中線定理・円周上の点・最大値・内積当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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半径 $1$ の円周 $C$ 上の2点 $A, B$ が $AB = 3$ をみたすとき、 $P$ が $C$ 上を動くときの $AP^{2} + BP^{2}$ の最大値を求める

答 $6$

$AB$ の中点を $M$ とすると、中線定理から $AP^{2} + BP^{2} = 2 PM^{2} + \frac{AB ^{2}}{2}$ となる。あとは $PM$ の最大を求めるだけである。

円の中心を $O$ 、 $AB$ の中点を $M$ とする。

中線定理。 三角形 $ABP$ で $M$ が $AB$ の中点だから

AP^{2} + BP^{2} = 2 PM^{2} + \frac{AB ^{2}}{2} = 2 PM^{2} + \frac{3}{2}

である（ $P$ が直線 $AB$ 上にあっても成り立つ）。

$OM$ の長さ。 $OM ⊥ AB$ で、 $AM = \frac{3}{2}$ 、 $OA = 1$ だから

OM = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{2}

である。

$PM$ の最大。 $P$ は $O$ を中心とする半径 $1$ の円周上を動くので

PM \leq PO + OM = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

で、等号は $P$ が半直線 $MO$ の延長と円の交点にあるとき（ $M$ から見て $O$ の向こう側）に成り立つ。したがって

AP^{2} + BP^{2} \leq 2 \cdot \frac{9}{4} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} + \frac{3}{2} = 6

で、最大値は $6$ である。

ベクトルでも同じことができる。 $O$ を原点として $AP^{2} + BP^{2} = ∣ p - a ∣^{2} + p - b^{2} = 4 - 2 p \cdot (a + b)$ であり、 $AB^{2} = 3$ から $a \cdot b = - \frac{1}{2}$ 、 $a + b = 1$ が出る。 $p$ が $a + b$ と逆向きのとき最大で $4 + 2 = 6$ である。

半径

1

の円周上に

AB = 3

（中心角

12 0^{\circ}

）となる

A, B

をとる。

M

は

AB

の中点で

OM = \frac{1}{2}

。

PM

が最大

\frac{3}{2}

になるのは、

P

が

M

の反対側の端にあるときで、そのとき

AP^{2} + BP^{2} = 6

。

中心角 $12 0^{\circ}$ の2点をとると $AB = 1.732050808 = 3$ で、 $P$ を円周上 $20$ 万点に動かすと $AP^{2} + BP^{2}$ の最大は $6.000000$ だった。

中線定理 $AP^{2} + BP^{2} = 2 PM^{2} + \frac{AB ^{2}}{2}$ の $\frac{AB ^{2}}{2}$ を忘れない。 $AB^{2} = 3$ なので $\frac{3}{2}$ である。

$PM$ の最大は $PO + OM$ である。 $P$ は円周上なので $PO = 1$ に固定される。

$AB = 3$ は中心角 $12 0^{\circ}$ に当たる（ $2 sin 6 0^{\circ} = 3$ ）。 $OM = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ と見てもよい。

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半径 1 の円周 C 上の2点 A,B が AB=3​ をみたすとき、P が C 上を動くときの AP2+BP2 の最大値を求める

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