第4問 確率の解答・解説

$f(x)=0$ の解は $x=c$ と $x^2-ax+b=0$ の解である。判別式を $D=a^2-4b$ とする。

1. $D<0$：2次方程式は実数解をもたないので、実数解は $x=c$ の1個。◯
2. $D=0$：重解 $x=\frac{a}{2}$ をもつ。実数解が1個になるのは $\frac{a}{2}=c$ のとき。
3. $D>0$：異なる2つの実数解があるので、$c$ と合わせて2個以上になる。×

$D<0$ の場合を数える。 $a^2<4b$ をみたす $(a,b)$ は

で合計 $17$ 通り。$c$ は何でもよいので $17\times 6=102$ 通りである。

$D=0$ の場合。 $a^2=4b$ をみたすのは $(a,b)=(2,1),(4,4)$ の2通り（$a=6$ だと $b=9>6$）。それぞれ $c=\frac{a}{2}$、つまり $c=1$、$c=2$ の1通りずつなので $2$ 通りである。

合わせて $102+2=104$ 通りだから

である。

解は $x=c$ と2次方程式の2解の最大3個である。自然数解がちょうど3個になるには、この3つがすべて自然数で互いに異なればよい。$c$ は $1$ 以上 $6$ 以下なので自然数である。したがって条件は

1. $x^2-ax+b=0$ が相異なる2つの自然数解 $p<q$ をもつ
2. $c\ne p$ かつ $c\ne q$

である。

$(p,q)$ を数える。 解と係数の関係より $p+q=a$、$pq=b$ で、$1\le a\le 6$、$1\le b\le 6$ だから

をみたす組を探すと

の5通りである（$(1,6)$ は $a=7$、$(2,4)$ は $b=8$ で範囲外）。それぞれ $(a,b)=(3,2),(4,3),(5,4),(6,5),(5,6)$ と1対1に対応する。

$c$ の選び方。 $c$ は $1,\dots ,6$ のうち $p,q$ 以外だから $6-2=4$ 通りである。よって

で

である。