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九州大学　2025年度　前期日程　文科系

九大文系 2025年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は九州大学が公開しています。

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掲載ページ名「試験問題、解答例等について」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

第1問　微分法

共通接線・接線の方程式・4次方程式・因数分解当サイトの体感難易度：標準

2つの曲線 $y = x^{3} + x^{2} - x - 1$ 、 $y = x^{2}$ の両方に接するすべての直線の方程式を求める

答 $y = 0$ と $y = 4 x - 4$

放物線 $y = x^{2}$ に接する直線は、傾きを $m$ とすると $y = m x - \frac{m ^{2}}{4}$ の形に限られる。これと「3次曲線の接線」が一致する条件を $t$ （3次曲線の接点）の式にする。

放物線の接線。 $y = x^{2}$ の $x = s$ での接線は $y = 2 s x - s^{2}$ である。傾きを $m = 2 s$ とおくと $s = \frac{m}{2}$ で

y = m x - \frac{m ^{2}}{4}

となる。つまり「傾き $m$ 、 $y$ 切片 $b$ の直線が $y = x^{2}$ に接する」 $⟺$ $b = - \frac{m ^{2}}{4}$ である。

3次曲線の接線。 $f (x) = x^{3} + x^{2} - x - 1$ 、 $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1$ である。 $x = t$ での接線は $y = f (t) + f^{'} (t) (x - t)$ で、

m b = f^{'} (t) = 3 t^{2} + 2 t - 1 = f (t) - t f^{'} (t) = (t^{3} + t^{2} - t - 1) - t (3 t^{2} + 2 t - 1) = - 2 t^{3} - t^{2} - 1

である。

条件を立てる。 $b = - \frac{m ^{2}}{4}$ に代入して

- 2 t^{3} - t^{2} - 1 = - \frac{( 3 t ^{2} + 2 t - 1 ) ^{2}}{4}

すなわち

4 (2 t^{3} + t^{2} + 1) = (3 t^{2} + 2 t - 1)^{2}

である。右辺を展開すると

9 t^{4} + 12 t^{3} - 2 t^{2} - 4 t + 1

なので、移項して整理すると

9 t^{4} + 4 t^{3} - 6 t^{2} - 4 t - 3 = 0

となる。

解く。 $t = 1$ を代入すると $9 + 4 - 6 - 4 - 3 = 0$ で成り立つ。 $t = - 1$ でも $9 - 4 - 6 + 4 - 3 = 0$ で成り立つ。よって $(t - 1) (t + 1) = t^{2} - 1$ で割れて

9 t^{4} + 4 t^{3} - 6 t^{2} - 4 t - 3 = (t - 1) (t + 1) (9 t^{2} + 4 t + 3)

である。 $9 t^{2} + 4 t + 3$ の判別式は $16 - 108 = - 92 < 0$ なので実数解をもたない。したがって $t = \pm 1$ だけである。

接線を書く。

$t = 1$ ： $m = 3 + 2 - 1 = 4$ 、 $b = - 2 - 1 - 1 = - 4$ 。直線 $y = 4 x - 4$
$t = - 1$ ： $m = 3 - 2 - 1 = 0$ 、 $b = 2 - 1 - 1 = 0$ 。直線 $y = 0$

である。それぞれ放物線との接点は $x = \frac{m}{2}$ 、すなわち $x = 2$ と $x = 0$ である。

3次曲線

y = x^{3} + x^{2} - x - 1

（

x = - 1

で重解をもち、そこで

x

軸に接する）と放物線

y = x^{2}

、そして2本の共通接線

y = 0

、

y = 4 x - 4

。

y = 0

は3次曲線に

(- 1, 0)

で、放物線に

(0, 0)

で接する。

y = 4 x - 4

は3次曲線に

(1, 0)

で、放物線に

(2, 4)

で接する。

$t$ を $- 4$ から $4$ まで $80$ 万点に刻んで $b + \frac{m ^{2}}{4} = 0$ となる $t$ を探すと $t = 1, - 1$ の2つだけだった。得られた2直線は、どちらも3次曲線と放物線の両方に接していた。

放物線の接線は「 $b = - \frac{m ^{2}}{4}$ 」の1本の式にまとまる。接点 $s$ を残したまま2変数で連立すると手間が増える。

「両方に接する」なので、3次曲線とは接するが放物線とはただ交わるだけ、という直線は数えない。

$t = \pm 1$ がすぐ見つかる。 $f (x) = x^{3} + x^{2} - x - 1 = (x - 1) (x + 1)^{2}$ と因数分解できるので、 $x = \pm 1$ は $x$ 軸との交点である。

$9 t^{2} + 4 t + 3$ が実数解をもたないことまで言って、「これですべて」と締める。

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第2問　図形

中線定理・円周上の点・最大値・内積当サイトの体感難易度：標準

半径 $1$ の円周 $C$ 上の2点 $A, B$ が $AB = 3$ をみたすとき、 $P$ が $C$ 上を動くときの $AP^{2} + BP^{2}$ の最大値を求める

答 $6$

$AB$ の中点を $M$ とすると、中線定理から $AP^{2} + BP^{2} = 2 PM^{2} + \frac{AB ^{2}}{2}$ となる。あとは $PM$ の最大を求めるだけである。

円の中心を $O$ 、 $AB$ の中点を $M$ とする。

中線定理。 三角形 $ABP$ で $M$ が $AB$ の中点だから

AP^{2} + BP^{2} = 2 PM^{2} + \frac{AB ^{2}}{2} = 2 PM^{2} + \frac{3}{2}

である（ $P$ が直線 $AB$ 上にあっても成り立つ）。

$OM$ の長さ。 $OM ⊥ AB$ で、 $AM = \frac{3}{2}$ 、 $OA = 1$ だから

OM = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{2}

である。

$PM$ の最大。 $P$ は $O$ を中心とする半径 $1$ の円周上を動くので

PM \leq PO + OM = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

で、等号は $P$ が半直線 $MO$ の延長と円の交点にあるとき（ $M$ から見て $O$ の向こう側）に成り立つ。したがって

AP^{2} + BP^{2} \leq 2 \cdot \frac{9}{4} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} + \frac{3}{2} = 6

で、最大値は $6$ である。

ベクトルでも同じことができる。 $O$ を原点として $AP^{2} + BP^{2} = ∣ p - a ∣^{2} + p - b^{2} = 4 - 2 p \cdot (a + b)$ であり、 $AB^{2} = 3$ から $a \cdot b = - \frac{1}{2}$ 、 $a + b = 1$ が出る。 $p$ が $a + b$ と逆向きのとき最大で $4 + 2 = 6$ である。

半径

1

の円周上に

AB = 3

（中心角

12 0^{\circ}

）となる

A, B

をとる。

M

は

AB

の中点で

OM = \frac{1}{2}

。

PM

が最大

\frac{3}{2}

になるのは、

P

が

M

の反対側の端にあるときで、そのとき

AP^{2} + BP^{2} = 6

。

中心角 $12 0^{\circ}$ の2点をとると $AB = 1.732050808 = 3$ で、 $P$ を円周上 $20$ 万点に動かすと $AP^{2} + BP^{2}$ の最大は $6.000000$ だった。

中線定理 $AP^{2} + BP^{2} = 2 PM^{2} + \frac{AB ^{2}}{2}$ の $\frac{AB ^{2}}{2}$ を忘れない。 $AB^{2} = 3$ なので $\frac{3}{2}$ である。

$PM$ の最大は $PO + OM$ である。 $P$ は円周上なので $PO = 1$ に固定される。

$AB = 3$ は中心角 $12 0^{\circ}$ に当たる（ $2 sin 6 0^{\circ} = 3$ ）。 $OM = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ と見てもよい。

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第3問　整数

平方数の余り・mod 8・指数方程式・場合分け当サイトの体感難易度：標準

(1)整数 $n$ について $n^{2}$ を $8$ で割った余りが $0, 1, 4$ のいずれかであることを示す

答 $n = 4 k + r$ （ $r = 0, 1, 2, 3$ ）とすると $n^{2} \equiv r^{2} \equiv 0, 1, 4, 1 (mod 8)$

$n$ を $4$ で割った余りで分ければよい。 $n^{2}$ の $8$ を法とする値は、 $n$ の $4$ を法とする値だけで決まる（ $n$ を $8 k$ 増やす必要はない）。

$n$ を $4$ で割った余りを $r \in {0, 1, 2, 3}$ とし、 $n = 4 k + r$ と書く。

n^{2} = 16 k^{2} + 8 k r + r^{2} \equiv r^{2} (mod 8)

である（ $16 k^{2}$ も $8 k r$ も $8$ の倍数）。あとは $r^{2}$ を計算して

r = 0 : 0, r = 1 : 1, r = 2 : 4, r = 3 : 9 \equiv 1

となるので、 $n^{2}$ を $8$ で割った余りは $0, 1, 4$ のいずれかである。

別の見方をすると、 $n$ が奇数なら $n^{2} \equiv 1 (mod 8)$ （連続2整数の積が偶数であることから $n^{2} - 1 = (n - 1) (n + 1)$ が $8$ の倍数）、 $n$ が偶数なら $n = 2 k$ で $n^{2} = 4 k^{2} \equiv 0$ または $4$ 、となる。

$- 20 \leq n \leq 20$ で $n^{2} mod 8$ を計算すると、現れるのは $0, 1, 4$ の3つだけだった。

$8$ で割った余りを調べるのに $n$ を $8$ 通りに分ける必要はない。 $4$ 通りで足りる（ $n$ と $n + 4$ の平方は $8$ を法として等しい）。

$r = 3$ のとき $r^{2} = 9 \equiv 1$ である。 $9$ のまま答えに書かない。

(2) $2^{m} = n^{2} + 3$ をみたす $0$ 以上の整数の組 $(m, n)$ をすべて求める

答 $(m, n) = (2, 1)$

$m \geq 3$ なら左辺は $8$ の倍数なので、 $n^{2} \equiv - 3 \equiv 5 (mod 8)$ が必要になる。(1) よりこれは不可能なので、 $m \leq 2$ に絞られる。

$m \geq 3$ は不可能。 このとき $2^{m}$ は $8$ の倍数なので

n^{2} + 3 \equiv 0 (mod 8) ⟺ n^{2} \equiv - 3 \equiv 5 (mod 8)

となる。しかし (1) より $n^{2}$ を $8$ で割った余りは $0, 1, 4$ のいずれかで、 $5$ にはならない。よって $m \geq 3$ では解がない。

$m \leq 2$ を調べる。

$m = 0$ ： $1 = n^{2} + 3$ より $n^{2} = - 2$ 。不可。
$m = 1$ ： $2 = n^{2} + 3$ より $n^{2} = - 1$ 。不可。
$m = 2$ ： $4 = n^{2} + 3$ より $n^{2} = 1$ 、 $n \geq 0$ より $n = 1$ 。◯

したがって求める組は

(m, n) = (2, 1)

だけである。

$0 \leq m \leq 39$ 、 $0 \leq n \leq 9999$ で全探索すると、 $2^{m} = n^{2} + 3$ をみたすのは $(m, n) = (2, 1)$ だけだった。

$m$ も $n$ も「 $0$ 以上の整数」なので、 $m = 0, 1$ も調べる。 $n = 0$ も候補だが $2^{m} = 3$ となり不可。

$- 3 \equiv 5 (mod 8)$ である。符号を直してから (1) と突き合わせる。

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第4問　確率

判別式・解の個数・自然数解・場合の数当サイトの体感難易度：やや難

(1) $f (x) = 0$ をみたす実数 $x$ の個数が $1$ 個である確率を求める

答 $\frac{13}{27}$

$f (x) = (x^{2} - a x + b) (x - c)$ なので、解は $x = c$ と2次方程式の解である。 $x = c$ はつねに解なので、実数解がちょうど1個になるのは「2次方程式が実数解をもたない」か「重解をもってそれが $c$ に一致する」かのどちらかである。

$f (x) = 0$ の解は $x = c$ と $x^{2} - a x + b = 0$ の解である。判別式を $D = a^{2} - 4 b$ とする。

$D < 0$ ：2次方程式は実数解をもたないので、実数解は $x = c$ の1個。◯
$D = 0$ ：重解 $x = \frac{a}{2}$ をもつ。実数解が1個になるのは $\frac{a}{2} = c$ のとき。
$D > 0$ ：異なる2つの実数解があるので、 $c$ と合わせて2個以上になる。×

$D < 0$ の場合を数える。 $a^{2} < 4 b$ をみたす $(a, b)$ は

a = 1 a = 2 a = 3 a = 4 a = 5, 6 : 1 < 4 b \Rightarrow b = 1, \dots, 6 : 4 < 4 b \Rightarrow b = 2, \dots, 6 : 9 < 4 b \Rightarrow b = 3, \dots, 6 : 16 < 4 b \Rightarrow b = 5, 6 : なし 6 通り 5 通り 4 通り 2 通り 0 通り

で合計 $17$ 通り。 $c$ は何でもよいので $17 \times 6 = 102$ 通りである。

$D = 0$ の場合。 $a^{2} = 4 b$ をみたすのは $(a, b) = (2, 1), (4, 4)$ の2通り（ $a = 6$ だと $b = 9 > 6$ ）。それぞれ $c = \frac{a}{2}$ 、つまり $c = 1$ 、 $c = 2$ の1通りずつなので $2$ 通りである。

合わせて $102 + 2 = 104$ 通りだから

P = \frac{104}{216} = \frac{13}{27}

である。

$216$ 通りをすべて列挙して解の個数を数えると、実数解がちょうど1個になるのは $104$ 通りで、 $\frac{104}{216} = \frac{13}{27} = 0.4815$ である。

$x = c$ はつねに解なので、実数解が $0$ 個になることはない。 $1$ 個になる条件だけを考えればよい。

$D = 0$ のときに重解が $c$ と一致するかで場合が分かれる。一致しなければ解は2個である。

$a = 4$ では $4 b > 16$ すなわち $b > 4$ なので $b = 5, 6$ の2通り。 $b = 4$ （ $D = 0$ ）を入れない。

(2) $f (x) = 0$ をみたす自然数 $x$ の個数が $3$ 個である確率を求める

答 $\frac{5}{54}$

解は高々3個なので、3個とも自然数で互いに異なる必要がある。つまり「2次方程式が相異なる2つの自然数解をもち、しかも $c$ がそのどちらとも違う」である。2次方程式の2解を $p, q$ とすると $p + q = a \leq 6$ 、 $pq = b \leq 6$ という強い制約がつく。

解は $x = c$ と2次方程式の2解の最大3個である。自然数解がちょうど3個になるには、この3つがすべて自然数で互いに異なればよい。 $c$ は $1$ 以上 $6$ 以下なので自然数である。したがって条件は

$x^{2} - a x + b = 0$ が相異なる2つの自然数解 $p < q$ をもつ
$c \neq = p$ かつ $c \neq = q$

である。

$(p, q)$ を数える。 解と係数の関係より $p + q = a$ 、 $pq = b$ で、 $1 \leq a \leq 6$ 、 $1 \leq b \leq 6$ だから

p + q \leq 6, pq \leq 6, 1 \leq p < q

をみたす組を探すと

(p, q) = (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3)

の5通りである（ $(1, 6)$ は $a = 7$ 、 $(2, 4)$ は $b = 8$ で範囲外）。それぞれ $(a, b) = (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 5), (5, 6)$ と1対1に対応する。

$c$ の選び方。 $c$ は $1, \dots, 6$ のうち $p, q$ 以外だから $6 - 2 = 4$ 通りである。よって

5 \times 4 = 20 通り

で

P = \frac{20}{216} = \frac{5}{54}

である。

$216$ 通りを全探索すると、自然数解がちょうど3個になるのは $20$ 通りで、 $\frac{20}{216} = \frac{5}{54} = 0.0926$ である。

「自然数 $x$ の個数が3個」なので、3つの解が相異なる必要がある。 $c$ が $p$ か $q$ と一致すると2個になってしまう。

$p = q$ （重解）だと解は2個以下になる。 $p < q$ に限る。

$p + q \leq 6$ と $pq \leq 6$ の両方で絞る。 $(1, 6)$ や $(2, 4)$ は片方だけ見ると見落とす。

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問題文について

2つの曲線 y=x3+x2−x−1、y=x2 の両方に接するすべての直線の方程式を求める

半径 1 の円周 C 上の2点 A,B が AB=3​ をみたすとき、P が C 上を動くときの AP2+BP2 の最大値を求める

(1)整数 n について n2 を 8 で割った余りが 0,1,4 のいずれかであることを示す

(2)2m=n2+3 をみたす 0 以上の整数の組 (m,n) をすべて求める

(1)f(x)=0 をみたす実数 x の個数が 1 個である確率を求める

(2)f(x)=0 をみたす自然数 x の個数が 3 個である確率を求める

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