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北海道大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理系

北大理系 2025年度数学第4問（複素数平面）の解答・解説

北海道大学（北大理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理系入試の数学第4問（分野：複素数平面）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「アポロニウスの円・複素数の絶対値と共役・2円の共有点条件・a=1の特別扱い」を扱います。

出題テーマ：アポロニウスの円・複素数の絶対値と共役・2円の共有点条件・a=1の特別扱い当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $a > 0, a \neq = 1$ のとき、 $a ∣ z - 1∣ = ∣ (a - 2) z + a ∣$ を満たす複素数 $z$ 全体の集合を複素数平面上に図示する

答点 $\frac{a}{2}$ を中心とする半径 $\frac{a}{2}$ の円

両辺を2乗して $∣ w ∣^{2} = w \overline{w}$ で展開し、 $a \neq = 1$ を用いて $4 (a - 1)$ で割る。

両辺とも0以上だから、2乗しても同値である。 $∣ w ∣^{2} = w \overline{w}$ を用いて展開すると

a^{2} ∣ z - 1 ∣^{2} a^{2} (∣ z ∣^{2} - z - \overline{z} + 1) = ∣ (a - 2) z + a ∣^{2} = (a - 2)^{2} ∣ z ∣^{2} + a (a - 2) (z + \overline{z}) + a^{2}

右辺の項を左辺へ移して整理すると

4 (a - 1) ∣ z ∣^{2} - 2 a (a - 1) (z + \overline{z}) = 0

となる。 $a \neq = 1$ より $4 (a - 1) \neq = 0$ で割ることができ

∣ z ∣^{2} - \frac{a}{2} (z + \overline{z}) = 0 ⟺ z - \frac{a}{2}^{2} = (\frac{a}{2})^{2}

すなわち（ $a > 0$ より）

z - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}

となる。よって求める集合は、点 $\frac{a}{2}$ を中心とする半径 $\frac{a}{2}$ の円（原点 $0$ と実軸上の点 $a$ を直径の両端とする円）である。

a \neq = 1

のとき方程式が表す円

∣ z - a /2∣ = a /2

（実軸上の

0

と

a

を直径の両端とする円）。破線の円は (2) の

∣ z ∣ = 6 - a

（図は

a = 3

の場合）。

$z = 0$ を代入すると $a ∣ - 1∣ = ∣ a ∣$ 、 $z = a$ を代入すると $a ∣ a - 1∣ = ∣ (a - 1) a ∣$ でどちらも成り立ち、直径の両端 $0, a$ を通る。

$a = 2$ のときは右辺が $∣ a ∣ = 2$ となり、最初から $2∣ z - 1∣ = 2 ⟺ ∣ z - 1∣ = 1$ で公式 $z - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$ に含まれる。場合分けは不要。

(2) $∣ z ∣^{2} = 6 - a$ と $a ∣ z - 1∣ = ∣ (a - 2) z + a ∣$ をともに満たす複素数 $z$ が存在するような正の実数 $a$ の範囲を求める

答 $a = 1, 2 ≦ a ≦ 6$

$a = 1$ の場合を先に調べ、 $a \neq = 1$ のときは円 $z - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$ 上の点の $∣ z ∣$ の取りうる値の範囲が $[0, a]$ であることを使う。

まず $∣ z ∣^{2} = 6 - a ≧ 0$ が必要だから、 $0 < a ≦ 6$ の範囲で考える。

[1] $a = 1$ のとき。第2式は $∣ z - 1∣ = ∣ - z + 1∣ = ∣ z - 1∣$ となり、すべての複素数 $z$ について成り立つ。このとき第1式 $∣ z ∣^{2} = 5$ を満たす複素数 $z$ （たとえば $z = 5$ ）は確かに存在する。よって $a = 1$ は適する。

[2] $a \neq = 1$ （かつ $0 < a ≦ 6$ ）のとき。(1) より第2式は円 $z - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$ を表す。この円は原点 $0$ を通り、原点から最も遠い点は $z = a$ （距離 $a$ ）だから、この円上の点 $z$ について $∣ z ∣$ は $0 ≦ ∣ z ∣ ≦ a$ のすべての値をとる（または $∣ z ∣^{2} = a Re (z)$ で $0 ≦ Re (z) ≦ a$ と見てもよい）。

したがって、 $∣ z ∣^{2} = 6 - a$ と共有点をもつための必要十分条件は

0 ≦ 6 - a ≦ a^{2} ⟺ a^{2} + a - 6 ≧ 0 ⟺ (a + 3) (a - 2) ≧ 0

である。 $0 < a ≦ 6$ かつ $a \neq = 1$ と合わせて $2 ≦ a ≦ 6$ を得る。

[1], [2] を合わせて、求める $a$ の範囲は

a = 1, 2 ≦ a ≦ 6

である。

$a = 2$ のとき $z = 2$ が $∣ z ∣^{2} = 4 = 6 - 2$ と $∣ z - 1∣ = 1$ を満たし、 $a = 6$ のとき $z = 0$ が $∣ z ∣^{2} = 0$ と $6∣ - 1∣ = ∣6∣$ を満たす。

$a = 1$ の見落としが最大の落とし穴。(1) で「 $a$ が $1$ でないとき」と断ってあったため、(2) でも無意識に $a \neq = 1$ と決めつけると $a = 1$ を落とす。

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