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北海道大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理系

北大理系 2025年度数学第3問（微分積分）の解答・解説

北海道大学（北大理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理系入試の数学第3問（分野：微分積分）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解・別解です。本問では「指数関数と三角関数の定積分・部分積分2回・数列の極限」を扱います。

出題テーマ：指数関数と三角関数の定積分・部分積分2回・数列の極限当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)実数 $a$ と自然数 $n$ に対して $I (a, n) = \int_{0}^{2 π} e^{a x} sin (n x) d x$ を求める

答 $I (a, n) = - \frac{n ( e ^{2 π a} - 1 )}{a ^{2} + n ^{2}}$

部分積分を2回行うか、 ${e^{a x} (a sin n x - n cos n x)}^{'} = (a^{2} + n^{2}) e^{a x} sin n x$ を使う。

$sin (n x) = - \frac{1}{n} (cos n x)^{'}$ を用いて部分積分すると

I (a, n) = [- \frac{1}{n} e^{a x} cos (n x)]_{0}^{2 π} + \frac{a}{n} \int_{0}^{2 π} e^{a x} cos (n x) d x = - \frac{e ^{2 π a} - 1}{n} + \frac{a}{n} {[\frac{1}{n} e^{a x} sin (n x)]_{0}^{2 π} - \frac{a}{n} \int_{0}^{2 π} e^{a x} sin (n x) d x} = - \frac{e ^{2 π a} - 1}{n} - \frac{a ^{2}}{n ^{2}} I (a, n)

となる（ $n$ は自然数だから $sin (2 π n) = sin 0 = 0, cos (2 π n) = cos 0 = 1$ ）。移行して整理すると

(1 + \frac{a ^{2}}{n ^{2}}) I (a, n) = - \frac{e ^{2 π a} - 1}{n} ⟺ I (a, n) = - \frac{n ( e ^{2 π a} - 1 )}{a ^{2} + n ^{2}}

である（ $a = 0$ のときも $I (0, n) = 0$ で成り立つ）。

$a = 0$ を代入すると $0$ になり、 $\int_{0}^{2 π} sin (n x) d x = 0$ と一致する。

$- (cos n x)^{'} = n sin n x$ の符号を取り違えると答えのマイナスが抜ける。 $a > 0$ のとき後半の負の山のほうが指数関数で大きくなるため $I (a, n) < 0$ になる。

▸ 別解：原始関数を直接用いる方法

${\frac{e ^{a x}}{a ^{2} + n ^{2}} (a sin n x - n cos n x)}^{'} = e^{a x} sin (n x)$ であるから、両端 $x = 0, 2 π$ を代入して直ちに $I (a, n) = - \frac{n ( e ^{2 π a} - 1 )}{a ^{2} + n ^{2}}$ を得る。

(2) $a_{n} = \frac{lo g n}{2 π}$ のとき、極限 $n \to \infty lim I (a_{n}, n)$ を求める

答 $- 1$

$e^{2 π a_{n}} = n$ を代入し、分母・分子を $n^{2}$ で割る。

$2 π a_{n} = lo g n$ だから $e^{2 π a_{n}} = e^{l o g n} = n$ である。これを (1) の結果に代入すると

I (a_{n}, n) = - \frac{n ( n - 1 )}{a _{n}^{2} + n ^{2}} = - \frac{1 - \frac{1}{n}}{( \frac{a _{n}}{n} ) ^{2} + 1}

となる。ここで $\frac{a _{n}}{n} = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{lo g n}{n}$ であり、 $n \to \infty lim \frac{lo g n}{n} = 0$ から $n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n} = 0$ である。したがって

n \to \infty lim I (a_{n}, n) = - \frac{1 - 0}{0 ^{2} + 1} = - 1

である。

$n \to \infty$ で分子は $- n^{2} + n$ 、分母は $n^{2} + (lo g n /2 π)^{2}$ なので最高次係数の比 $- 1$ に収束する。

$e^{2 π a_{n}} = n$ を見落とすと極限計算ができない。指数の肩に $2 π$ が掛かって $lo g n$ に戻る仕組みになっている。

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