大阪大学　2022年度　前期日程　理系

第5問積分の解答・解説

媒介変数表示・面積の公式・部分積分・指数関数と三角関数当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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答 $\frac{e ^{2 π} - 1}{4}$

$\frac{1}{2} \int (x y^{'} - y x^{'}) d t$ を使う。 $x y^{'} - y x^{'} = e^{2 t} + e^{π + t} (sin t + cos t)$ で、第2項の積分は $0$ 。

まず曲線の形をつかむ。 $0 \leq t \leq π$ で $sin t \geq 0$ なので $y \geq 0$ であり、 $C$ は $x$ 軸より上にある。両端は

t = 0 : (1 + e^{π}, 0), t = π : (- e^{π} + e^{π}, 0) = (0, 0)

で、どちらも $x$ 軸上にある。よって $C$ と $x$ 軸上の線分（ $0 \leq x \leq 1 + e^{π}$ ）が閉じた曲線をなす。

微分すると

x^{'} y^{'} = e^{t} (cos t - sin t) = e^{t} (sin t + cos t)

である。 $x^{'} = 0$ となるのは $t = \frac{π}{4}$ のみで、 $x$ はそこまで増加し、そのあと減少する。つまり $x$ は単調でないので、 $\int y d x$ をそのまま使うと場合分けが必要になる。そこで、閉曲線で囲まれた面積の公式

S = \frac{1}{2} \oint (x d y - y d x)

を使う。 $x$ 軸上の線分では $y = 0$ 、 $d y = 0$ なので $x d y - y d x = 0$ であり、寄与しない。したがって $C$ のぶんだけを計算すればよい。

被積分関数を作ると

x y^{'} - y x^{'} = (e^{t} cos t + e^{π}) e^{t} (sin t + cos t) - e^{t} sin t \cdot e^{t} (cos t - sin t) = e^{2 t} (cos t sin t + cos^{2} t - sin t cos t + sin^{2} t) + e^{π + t} (sin t + cos t) = e^{2 t} + e^{π + t} (sin t + cos t)

である。第2項の積分は

\int_{0}^{π} e^{t} (sin t + cos t) d t = [e^{t} sin t]_{0}^{π} = 0 - 0 = 0

である（ $(e^{t} sin t)^{'} = e^{t} (sin t + cos t)$ だから、原始関数がそのまま見える）。第1項は

\int_{0}^{π} e^{2 t} d t = [\frac{e ^{2 t}}{2}]_{0}^{π} = \frac{e ^{2 π} - 1}{2}

である。よって

S = \frac{1}{2} \cdot \frac{e ^{2 π} - 1}{2} = \frac{e ^{2 π} - 1}{4}

である（ $t$ が増える向きに回ると内部が左手にあるので、絶対値をつけなくても正になる）。

網をかけた部分の面積を求めた。t = 0 のとき x 軸上の右端にあり、t = π で原点に戻る。x は t = π/4 までわずかに増えてから減るので、右側が t = 0 の点より少しだけ外へふくらむ。

$e^{π}$ の平行移動が面積に効かないのは、 $\int_{0}^{π} e^{t} (sin t + cos t) d t = [e^{t} sin t]_{0}^{π} = 0$ と、両端で $sin t = 0$ になることが原因である。 $e^{π}$ の値そのものは答えに現れない。

曲線上 $200001$ 点のシューレースで $133.62291387$ 、 $\frac{e ^{2 π} - 1}{4} = 133.62291388$ 。

$x$ が単調でないので $\int_{0}^{1 + e^{π}} y d x$ と書くのは危ない。 $t = \frac{π}{4}$ で折り返す。媒介変数のままの公式を使うか、 $\int_{0}^{π} y x^{'} d t$ と書いて向きまで含めて素直に計算する。

$(e^{t} sin t)^{'} = e^{t} (sin t + cos t)$ に気づかないと部分積分を2回回すことになる。 $e^{t} cos t$ の微分も合わせて覚えておく。

▸ 別解：平行移動してから極方程式として見る

$X = x - e^{π}$ 、 $Y = y$ とおくと $X = e^{t} cos t$ 、 $Y = e^{t} sin t$ なので、原点からの距離が $r = e^{t}$ 、偏角が $θ = t$ の対数螺旋 $r = e^{θ}$ である。

$X$ - $Y$ 平面では、 $θ$ が $0$ から $π$ まで動くときに動径が掃く部分の面積が

\frac{1}{2} \int_{0}^{π} r^{2} d θ = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} e^{2 θ} d θ = \frac{e ^{2 π} - 1}{4}

である。螺旋の両端 $(1, 0)$ と $(- e^{π}, 0)$ はどちらも $X$ 軸上にあるので、「動径が掃く部分」は「螺旋と $X$ 軸で囲まれた部分」とちょうど一致する。平行移動は面積を変えないので、求める面積も $\frac{e ^{2 π} - 1}{4}$ である。

$e^{π}$ だけずらしてあるのは、 $x \geq 0$ の側に図形を置くための見かけの操作にすぎなかったとわかる。

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