阪大理系 2022年度 数学の解答・解説

$z+w=zw$ を $w$ について解くと $w\left(z-1\right)=z$ である。$z=1$ だと左辺が $0$、右辺が $1$ で成り立たないので $z\ne 1$ であり

である。$u=z-1$ とおくと、$z$ の条件 $\left|z-\frac{3}{2}\right|=r$ は

であり、$w=1+\frac{1}{u}$ である。

$\left|u-\frac{1}{2}\right|=r$ の両辺を2乗して展開すると、$\frac{1}{2}$ が実数であることから

である。$s=\frac{1}{u}$ とおくと ${\left|u\right|}^2=\frac{1}{{\left|s\right|}^2}$、$u+\bar{u}=\frac{s+\bar{s}}{{\left|s\right|}^2}$ なので、両辺に ${\left|s\right|}^2$ を掛けて

である。

$r=\frac{1}{2}$ のとき。$\frac{1}{4}-r^2=0$ なので $\left(\ast \right)$ は

である。$w=1+s$ だから $\mathrm{Re}\left(w\right)=2$、すなわち実部が $2$ の直線である。（このとき $z=1$ は円周上にあるが、$u=0$ に対応する $s$ はないので、ちょうどその1点ぶんだけ $s$ が「無限遠」に抜け、直線全体が得られる。）

$r\ne \frac{1}{2}$ のとき。$k=\frac{1}{4}-r^2\ne 0$ とおいて $\left(\ast \right)$ を $k$ で割ると

である。$1-4k=4r^2$ なので

である。$\frac{1}{2k}=\frac{2}{1-4r^2}$、$\frac{r}{\left|k\right|}=\frac{4r}{\left|1-4r^2\right|}$ だから、$w=1+s$ は

をみたす。中心をまとめると

なので、中心 $\frac{3-4r^2}{1-4r^2}$、半径 $\frac{4r}{\left|1-4r^2\right|}$ の円である。$u\mapsto \frac{1}{u}$ は円周と像の円周の1対1の対応なので、円全体が得られる。

$\alpha =\frac{2\pi }{7}$ より $7\alpha =2\pi$ であり

である。余弦は $2\pi$ の平行移動と符号の反転で変わらないので

である。$■$

2倍角を2回使うと

であり、3倍角より

である。(1) より $\cos 4\alpha -\cos 3\alpha =0$ なので

である。$\left(\ast \right)$ の左辺に $c=1$ を入れると $8-4-8+3+1=0$ なので、$c-1$ で割り切れて

と因数分解できる（右の括弧を展開すれば $\left(\ast \right)$ の左辺に戻ることで確かめられる）。ここで $0<\alpha =\frac{2\pi }{7}<\frac{\pi }{2}$ より $0<c<1$、とくに $c\ne 1$ である。よって

である。$■$

$\cos \frac{2\pi }{7}$ が有理数だと仮定する。(2) より、それは

の解である。そこで $f\left(\frac{p}{q}\right)=0$（$p,q$ は整数、$q\ge 1$、$p$ と $q$ は互いに素）とおく。両辺に $q^3$ を掛けると

である。

$\left(\ast \ast \right)$ を $q^3=p\left(8p^2+4pq-4q^2\right)$ と読むと、$p$ は $q^3$ を割り切る。$p$ と $q$ は互いに素なので $p$ と $q^3$ も互いに素であり、よって $p=\pm 1$ である。

同じ $\left(\ast \ast \right)$ を $8p^3=q\left(-4p^2+4pq+q^2\right)$ と読むと、$q$ は $8p^3=\pm 8$ を割り切る。$q\ge 1$ だから $q\in \left\{1,2,4,8\right\}$ である。

したがって候補は $\pm 1,\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{4},\pm \frac{1}{8}$ の8個しかない。実際に代入すると

で、どれも $0$ にならない。これは矛盾である。よって $\cos \frac{2\pi }{7}$ は有理数でない。$■$

$f$ の3つの解は $\cos \frac{2\pi }{7},\cos \frac{4\pi }{7},\cos \frac{6\pi }{7}$（およそ $0.6235,-0.2225,-0.9010$）である。3つとも有理数でないことが同じ議論でわかる。

$\mathrm{P}\left(0,t\right)$、$\mathrm{Q}\left(\frac{1}{t},0\right)$ を通る直線は、切片の形から $\frac{x}{1/t}+\frac{y}{t}=1$、すなわち

である。線分なので $x$ の範囲は $0\le x\le \frac{1}{t}$ に限る。

そこで $x$ を固定し、$t$ を動かしたときに $y$ がとる値の集合を求める。$x$ が線分に乗る条件は $x\le \frac{1}{t}$、つまり $t\le \frac{1}{x}$（$x>0$ のとき）である。したがって $t$ の動く範囲は

である。$x>1$ では $\frac{1}{x}<1$ となり $t$ が存在しないので、通過する部分は $0\le x\le 1$ にある。

$g\left(t\right)=t-t^{2}x=-x{\left(t-\frac{1}{2x}\right)}^2+\frac{1}{4x}$ とおく。$x>0$ なので上に凸で、軸は $t=\frac{1}{2x}$、頂点の値は $\frac{1}{4x}$ である。

(i) $\frac{1}{2}\le x\le 1$ のとき。$\frac{1}{2x}\le 1$ なので $g$ は $1\le t\le \frac{1}{x}$ で減少し

である。

(ii) $0<x\le \frac{1}{2}$ のとき。$t$ は $1\le t\le 2$ を動く。両端の値は $g\left(1\right)=1-x$、$g\left(2\right)=2-4x$ である。軸が区間に入る条件は $1\le \frac{1}{2x}\le 2$、すなわち $\frac{1}{4}\le x\le \frac{1}{2}$ である。

$0<x<\frac{1}{4}$ では軸が $2$ より右なので $g$ は区間で増加し、$1-x\le y\le 2-4x$ である。

$\frac{1}{4}\le x\le \frac{1}{2}$ では最大が $\frac{1}{4x}$、最小が両端の小さいほうである。$\left(1-x\right)-\left(2-4x\right)=3x-1$ なので

である。

まとめると、通過する部分は

である（境界を含む）。

$\frac{1}{4}\le x\le \frac{1}{2}$ での上側の境界 $y=\frac{1}{4x}$ は、直線の族 $y=t-t^{2}x$ の包絡線である。$t$ について $y=-x{t}^2+t$ が解をもつ条件 $1-4xy\ge 0$ を考えても同じ式が出る。線分（$t$ の範囲が有限）なので、包絡線が境界になるのは軸が区間に入る $\frac{1}{4}\le x\le \frac{1}{2}$ だけで、その外では端の $t=1,2$ の線分が境界になる。

$g\left(x\right)=f\left(x\right)-x=\log \left(x+1\right)+1-x$ とおく。$x>-1$ で

なので、$x>0$ では $g^{\prime }\left(x\right)<0$ であり $g$ は狭義単調減少である。よって $x>0$ での解は多くても1つである。

存在を見る。$g$ は $x\ge 0$ で連続で

であり、$\log 4<\log {\mathrm{e}}^2=2$ より

である。中間値の定理より $0<\alpha <3$ に $g\left(\alpha \right)=0$ をみたす $\alpha$ が存在する。単調性と合わせて、$x>0$ での解はこの $\alpha$ ただ1つである。$■$

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{x+1}>0$（$x>-1$）なので $f$ は増加関数である。

$n$ についての帰納法で示す。$n=1$ のとき $x_1=1\ge 1$ でよい。

$x_n\ge 1$ を仮定する。$f$ は増加だから

である（$\log 2>0$）。よって $x_{n+1}\ge 1$ である。以上より、すべての $n$ で $x_n\ge 1$ である。$■$

同じ議論で $x_n<3$ もわかる。$x_n<3$ なら $x_{n+1}<\log 4+1<3$ だからである。つまり $\left\{x_n\right\}$ は $\left[1,3\right)$ に留まり、$\alpha$ もこの区間にある。

まず $\alpha >1$ である。実際 $g\left(1\right)=\log 2>0$ で $g$ は減少、$g\left(\alpha \right)=0$ だから $\alpha >1$ である。

$x_n=\alpha$ なら $x_{n+1}=f\left(\alpha \right)=\alpha$ で不等式は成り立つ。$x_n\ne \alpha$ とする。$f$ は $x_n$ と $\alpha$ を含む閉区間で連続・微分可能なので、平均値の定理より、その区間の内部に

をみたす $c$ がある。左辺は $x_{n+1}-\alpha$ である。(2) より $x_n\ge 1$、また $\alpha >1$ なので、その間にある $c$ は $c>1$ をみたす。よって

であり

である。$■$

(3) の不等式を繰り返し使うと

である。$\left|\frac{1}{2}\right|<1$ なので ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\to 0$ であり、右辺は $0$ に収束する。はさみうちの原理より

である。$■$

$\left|x_1-\alpha \right|=\left|1-\alpha \right|<2$ なので $\left|x_n-\alpha \right|<2^{2-n}$ である。$n=20$ でも誤差は $10^{-5}$ 程度までしか保証されないが、実際の比は $0.32$ 前後なので収束はもっと速い。

まず曲線の形をつかむ。$0\le t\le \pi$ で $\sin t\ge 0$ なので $y\ge 0$ であり、$C$ は $x$ 軸より上にある。両端は

で、どちらも $x$ 軸上にある。よって $C$ と $x$ 軸上の線分（$0\le x\le 1+{\mathrm{e}}^{\pi }$）が閉じた曲線をなす。

微分すると

である。$x^{\prime }=0$ となるのは $t=\frac{\pi }{4}$ のみで、$x$ はそこまで増加し、そのあと減少する。つまり $x$ は単調でないので、$\int ydx$ をそのまま使うと場合分けが必要になる。そこで、閉曲線で囲まれた面積の公式

を使う。$x$ 軸上の線分では $y=0$、$dy=0$ なので $xdy-ydx=0$ であり、寄与しない。したがって $C$ のぶんだけを計算すればよい。

被積分関数を作ると

である。第2項の積分は

である（${\left({\mathrm{e}}^t\sin t\right)}^{\prime }={\mathrm{e}}^t\left(\sin t+\cos t\right)$ だから、原始関数がそのまま見える）。第1項は

である。よって

である（$t$ が増える向きに回ると内部が左手にあるので、絶対値をつけなくても正になる）。

${\mathrm{e}}^{\pi }$ の平行移動が面積に効かないのは、${\int }_0^{\pi }{\mathrm{e}}^t\left(\sin t+\cos t\right)dt=[{\mathrm{e}}^t\sin t{]}_0^{\pi }=0$ と、両端で $\sin t=0$ になることが原因である。${\mathrm{e}}^{\pi }$ の値そのものは答えに現れない。