第2問 三角関数・整数の解答・解説

$\alpha =\frac{2\pi }{7}$ より $7\alpha =2\pi$ であり

である。余弦は $2\pi$ の平行移動と符号の反転で変わらないので

である。$■$

2倍角を2回使うと

であり、3倍角より

である。(1) より $\cos 4\alpha -\cos 3\alpha =0$ なので

である。$\left(\ast \right)$ の左辺に $c=1$ を入れると $8-4-8+3+1=0$ なので、$c-1$ で割り切れて

と因数分解できる（右の括弧を展開すれば $\left(\ast \right)$ の左辺に戻ることで確かめられる）。ここで $0<\alpha =\frac{2\pi }{7}<\frac{\pi }{2}$ より $0<c<1$、とくに $c\ne 1$ である。よって

である。$■$

$\cos \frac{2\pi }{7}$ が有理数だと仮定する。(2) より、それは

の解である。そこで $f\left(\frac{p}{q}\right)=0$（$p,q$ は整数、$q\ge 1$、$p$ と $q$ は互いに素）とおく。両辺に $q^3$ を掛けると

である。

$\left(\ast \ast \right)$ を $q^3=p\left(8p^2+4pq-4q^2\right)$ と読むと、$p$ は $q^3$ を割り切る。$p$ と $q$ は互いに素なので $p$ と $q^3$ も互いに素であり、よって $p=\pm 1$ である。

同じ $\left(\ast \ast \right)$ を $8p^3=q\left(-4p^2+4pq+q^2\right)$ と読むと、$q$ は $8p^3=\pm 8$ を割り切る。$q\ge 1$ だから $q\in \left\{1,2,4,8\right\}$ である。

したがって候補は $\pm 1,\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{4},\pm \frac{1}{8}$ の8個しかない。実際に代入すると

で、どれも $0$ にならない。これは矛盾である。よって $\cos \frac{2\pi }{7}$ は有理数でない。$■$

$f$ の3つの解は $\cos \frac{2\pi }{7},\cos \frac{4\pi }{7},\cos \frac{6\pi }{7}$（およそ $0.6235,-0.2225,-0.9010$）である。3つとも有理数でないことが同じ議論でわかる。