第3問 図形と方程式の解答・解説

$\mathrm{P}\left(0,t\right)$、$\mathrm{Q}\left(\frac{1}{t},0\right)$ を通る直線は、切片の形から $\frac{x}{1/t}+\frac{y}{t}=1$、すなわち

である。線分なので $x$ の範囲は $0\le x\le \frac{1}{t}$ に限る。

そこで $x$ を固定し、$t$ を動かしたときに $y$ がとる値の集合を求める。$x$ が線分に乗る条件は $x\le \frac{1}{t}$、つまり $t\le \frac{1}{x}$（$x>0$ のとき）である。したがって $t$ の動く範囲は

である。$x>1$ では $\frac{1}{x}<1$ となり $t$ が存在しないので、通過する部分は $0\le x\le 1$ にある。

$g\left(t\right)=t-t^{2}x=-x{\left(t-\frac{1}{2x}\right)}^2+\frac{1}{4x}$ とおく。$x>0$ なので上に凸で、軸は $t=\frac{1}{2x}$、頂点の値は $\frac{1}{4x}$ である。

(i) $\frac{1}{2}\le x\le 1$ のとき。$\frac{1}{2x}\le 1$ なので $g$ は $1\le t\le \frac{1}{x}$ で減少し

である。

(ii) $0<x\le \frac{1}{2}$ のとき。$t$ は $1\le t\le 2$ を動く。両端の値は $g\left(1\right)=1-x$、$g\left(2\right)=2-4x$ である。軸が区間に入る条件は $1\le \frac{1}{2x}\le 2$、すなわち $\frac{1}{4}\le x\le \frac{1}{2}$ である。

$0<x<\frac{1}{4}$ では軸が $2$ より右なので $g$ は区間で増加し、$1-x\le y\le 2-4x$ である。

$\frac{1}{4}\le x\le \frac{1}{2}$ では最大が $\frac{1}{4x}$、最小が両端の小さいほうである。$\left(1-x\right)-\left(2-4x\right)=3x-1$ なので

である。

まとめると、通過する部分は

である（境界を含む）。

$\frac{1}{4}\le x\le \frac{1}{2}$ での上側の境界 $y=\frac{1}{4x}$ は、直線の族 $y=t-t^{2}x$ の包絡線である。$t$ について $y=-x{t}^2+t$ が解をもつ条件 $1-4xy\ge 0$ を考えても同じ式が出る。線分（$t$ の範囲が有限）なので、包絡線が境界になるのは軸が区間に入る $\frac{1}{4}\le x\le \frac{1}{2}$ だけで、その外では端の $t=1,2$ の線分が境界になる。