第1問 複素数平面の解答・解説

$z+w=zw$ を $w$ について解くと $w\left(z-1\right)=z$ である。$z=1$ だと左辺が $0$、右辺が $1$ で成り立たないので $z\ne 1$ であり

である。$u=z-1$ とおくと、$z$ の条件 $\left|z-\frac{3}{2}\right|=r$ は

であり、$w=1+\frac{1}{u}$ である。

$\left|u-\frac{1}{2}\right|=r$ の両辺を2乗して展開すると、$\frac{1}{2}$ が実数であることから

である。$s=\frac{1}{u}$ とおくと ${\left|u\right|}^2=\frac{1}{{\left|s\right|}^2}$、$u+\bar{u}=\frac{s+\bar{s}}{{\left|s\right|}^2}$ なので、両辺に ${\left|s\right|}^2$ を掛けて

である。

$r=\frac{1}{2}$ のとき。$\frac{1}{4}-r^2=0$ なので $\left(\ast \right)$ は

である。$w=1+s$ だから $\mathrm{Re}\left(w\right)=2$、すなわち実部が $2$ の直線である。（このとき $z=1$ は円周上にあるが、$u=0$ に対応する $s$ はないので、ちょうどその1点ぶんだけ $s$ が「無限遠」に抜け、直線全体が得られる。）

$r\ne \frac{1}{2}$ のとき。$k=\frac{1}{4}-r^2\ne 0$ とおいて $\left(\ast \right)$ を $k$ で割ると

である。$1-4k=4r^2$ なので

である。$\frac{1}{2k}=\frac{2}{1-4r^2}$、$\frac{r}{\left|k\right|}=\frac{4r}{\left|1-4r^2\right|}$ だから、$w=1+s$ は

をみたす。中心をまとめると

なので、中心 $\frac{3-4r^2}{1-4r^2}$、半径 $\frac{4r}{\left|1-4r^2\right|}$ の円である。$u\mapsto \frac{1}{u}$ は円周と像の円周の1対1の対応なので、円全体が得られる。