第1問 三角関数・微分積分の解答・解説

$\cos x\ne 0$ なので、$f\left(x\right)=0$ は両辺に ${\cos }^{2}x$ を掛けて

となる。よって ${\sin }^{2}2x=\frac{1}{4}$、$\sin 2x=\pm \frac{1}{2}$ である。$0<x<\frac{\pi }{2}$ では $0<2x<\pi$ なので $\sin 2x>0$ で

である。したがって

である。

$t=\tan x$ とおくと $\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+t^2$、${\sin }^{2}x=\frac{t^2}{1+t^2}$ なので、$f\left(x\right)=0$ は

となる。$0<x<\frac{\pi }{2}$ では $t>0$ なので $1+t^2=4t$、すなわち

である。$\tan$ は $0<x<\frac{\pi }{2}$ で増加するから、$\alpha <\beta$ より

である。

$\tan \frac{\pi }{12}=2-\sqrt{3}$、$\tan \frac{5\pi }{12}=2+\sqrt{3}$ は加法定理（$\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}$）からも出る。積が $1$ なのは $\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$ だから。

$\frac{d}{dx}{\left(\cos x\right)}^{-2}=2{\left(\cos x\right)}^{-3}\sin x$ なので

である。$\cos x>0$ なので $f^{\prime }=0$ は $\sin x=0$ または ${\cos }^{4}x=\frac{1}{16}$ である。後者は ${\cos }^{2}x=\frac{1}{4}$、$\cos x>0$ より $\cos x=\frac{1}{2}$ である。よって

である。

${\cos }^{3}x>0$ なので、$f^{\prime }$ の符号は $\sin x$ と $1-16{\cos }^{4}x$ の積の符号である。$\left|x\right|<\frac{\pi }{3}$ では $\cos x>\frac{1}{2}$ なので $1-16{\cos }^{4}x<0$、$\frac{\pi }{3}<\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$ では $\cos x<\frac{1}{2}$ なので $1-16{\cos }^{4}x>0$ である。

1. $-\frac{\pi }{2}<x<-\frac{\pi }{3}$：$\sin x<0$、$1-16{\cos }^{4}x>0$ なので $f^{\prime }<0$（減少）
2. $-\frac{\pi }{3}<x<0$：$\sin x<0$、$1-16{\cos }^{4}x<0$ なので $f^{\prime }>0$（増加）
3. $0<x<\frac{\pi }{3}$：$\sin x>0$、$1-16{\cos }^{4}x<0$ なので $f^{\prime }<0$（減少）
4. $\frac{\pi }{3}<x<\frac{\pi }{2}$：$\sin x>0$、$1-16{\cos }^{4}x>0$ なので $f^{\prime }>0$（増加）

よって $x=\pm \frac{\pi }{3}$ で極小、$x=0$ で極大である。値は

である。

$0<x<\frac{\pi }{2}$ で $f=0$ となるのは $x=\alpha ,\beta$ だけで、その間では $f<0$（たとえば $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=2-8=-6$）。囲まれた領域はここだけである。よって

である。$16{\sin }^{2}x=8\left(1-\cos 2x\right)$ なので

である。$\sin \frac{5\pi }{6}=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ なので $-4\sin 2x$ の項は両端で同じ値になり、差し引きで消える。残るのは

である（$4.913\dots$）。(ii) の値がそのまま効く。