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電気通信大学　2024年度　前期日程　情報理工学域

第4問数列の解答・解説

置き換えで等比数列にする・階差数列・分数式の約分・最大になる項当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。情報理工学域の問題文は電気通信大学が公開しています。

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掲載ページ名「過去の入試問題」／2026/10/14に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(i) $a_{1} = 1$ 、 $2 n a_{n + 1} - (n + 2) a_{n} = 0$ とする。 $c_{n} = \frac{a _{n}}{n ( n + 1 )}$ とおくとき $c_{n + 1}$ を $c_{n}$ で表し、 ${a_{n}}$ の一般項を求める

答 $c_{n + 1} = \frac{c _{n}}{2}$ 、 $a_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2 ^{n}}$

$a_{n + 1} = \frac{( n + 2 ) a _{n}}{2 n}$ を $c_{n + 1}$ の定義に入れると $(n + 2)$ が約分される。

漸化式より $a_{n + 1} = \frac{( n + 2 ) a _{n}}{2 n}$ である。よって

c_{n + 1} = \frac{a _{n + 1}}{( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{( n + 2 ) a _{n}}{2 n ( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{a _{n}}{2 n ( n + 1 )} = \frac{c _{n}}{2}

である。 $c_{1} = \frac{a _{1}}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ なので ${c_{n}}$ は初項 $\frac{1}{2}$ 、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列で

c_{n} = \frac{1}{2 ^{n}}

である。したがって

a_{n} = n (n + 1) c_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2 ^{n}}

である。

漸化式を分数のまま回すと、 $n = 1$ から $11$ までこの式と一致した。

(ii) $b_{1} = 1$ 、 $\frac{2 n}{n + 1} b_{n + 1} - \frac{n + 2}{n + 1} b_{n} = \frac{n ( n ^{2} - 4 )}{2 ^{n - 1}}$ のとき、 $b_{2}, b_{3}, b_{4}$ を求める

答 $b_{2} = - \frac{3}{2}$ 、 $b_{3} = - \frac{3}{2}$ 、 $b_{4} = \frac{5}{4}$

$b_{n + 1} = \frac{n + 2}{2 n} b_{n} + \frac{( n + 1 ) ( n ^{2} - 4 )}{2 ^{n}}$ に $n = 1, 2, 3$ を入れる。

両辺に $\frac{n + 1}{2 n}$ を掛けると

b_{n + 1} = \frac{n + 2}{2 n} b_{n} + \frac{( n + 1 ) ( n ^{2} - 4 )}{2 ^{n}}

である。順に代入すると

b_{2} = \frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{2 \cdot ( - 3 )}{2} = \frac{3}{2} - 3 = - \frac{3}{2}

b_{3} = \frac{4}{4} \cdot (- \frac{3}{2}) + \frac{3 \cdot 0}{4} = - \frac{3}{2}

b_{4} = \frac{5}{6} \cdot (- \frac{3}{2}) + \frac{4 \cdot 5}{8} = - \frac{5}{4} + \frac{5}{2} = \frac{5}{4}

である。

$n = 2$ のとき右辺の $n^{2} - 4$ が $0$ になるので $b_{3} = b_{2}$ になる。(v) で効いてくる。

分数のまま計算して $b_{2} = - \frac{3}{2}$ 、 $b_{3} = - \frac{3}{2}$ 、 $b_{4} = \frac{5}{4}$ を確かめた。

(iii) $d_{n} = \frac{2 ^{n - 1}}{n ( n + 1 )} b_{n}$ とおくとき $d_{n + 1}$ を $d_{n}$ で表し、 ${d_{n}}$ の一般項を求める

答 $d_{n + 1} = d_{n} + n - 2$ 、 $d_{n} = \frac{n ^{2} - 5 n + 5}{2}$

$b_{n + 1}$ の式を入れる。第1項が $d_{n}$ に、第2項が $\frac{n ^{2} - 4}{n + 2} = n - 2$ になる。

(ii) の形を使うと

d_{n + 1} = \frac{2 ^{n}}{( n + 1 ) ( n + 2 )} {\frac{n + 2}{2 n} b_{n} + \frac{( n + 1 ) ( n ^{2} - 4 )}{2 ^{n}}}

である。第1項は

\frac{2 ^{n} ( n + 2 )}{2 n ( n + 1 ) ( n + 2 )} b_{n} = \frac{2 ^{n - 1}}{n ( n + 1 )} b_{n} = d_{n}

で、第2項は

\frac{( n + 1 ) ( n ^{2} - 4 )}{( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{( n - 2 ) ( n + 2 )}{n + 2} = n - 2

である。よって

d_{n + 1} = d_{n} + n - 2

である。 $d_{1} = \frac{2 ^{0}}{1 \cdot 2} b_{1} = \frac{1}{2}$ なので、 $n ≧ 2$ のとき

d_{n} = \frac{1}{2} + k = 1 \sum n - 1 (k - 2) = \frac{1}{2} + \frac{( n - 1 ) n}{2} - 2 (n - 1)

である。通分すると

d_{n} = \frac{1 + ( n - 1 ) ( n - 4 )}{2} = \frac{n ^{2} - 5 n + 5}{2}

で、 $n = 1$ でも $\frac{1 - 5 + 5}{2} = \frac{1}{2}$ となり成り立つ。

$d_{n}$ を定義どおり計算すると、 $n = 1$ から $11$ まで $\frac{n ^{2} - 5 n + 5}{2}$ と一致した。

(iv) ${b_{n}}$ の一般項を求め、 $b_{n + 1} - b_{n} = \frac{P ( n )}{2 ^{n + 1}}$ をみたす $n$ の整式 $P (n)$ を求める

答 $b_{n} = \frac{n ( n + 1 ) ( n ^{2} - 5 n + 5 )}{2 ^{n}}$ 、 $P (n) = - (n + 1) (n - 2) (n^{2} - 7 n + 1)$

$b_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2 ^{n - 1}} d_{n}$ 。差は通分して $2^{n + 1}$ にそろえる。

$d_{n}$ の定義から

b_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2 ^{n - 1}} d_{n} = \frac{n ( n + 1 ) ( n ^{2} - 5 n + 5 )}{2 ^{n}}

である。 $n$ を $n + 1$ にすると $(n + 1)^{2} - 5 (n + 1) + 5 = n^{2} - 3 n + 1$ なので

b_{n + 1} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n ^{2} - 3 n + 1 )}{2 ^{n + 1}}, b_{n} = \frac{2 n ( n + 1 ) ( n ^{2} - 5 n + 5 )}{2 ^{n + 1}}

である。差をとると

P (n) = (n + 1) {(n + 2) (n^{2} - 3 n + 1) - 2 n (n^{2} - 5 n + 5)}

である。中かっこを展開すると

(n^{3} - n^{2} - 5 n + 2) - (2 n^{3} - 10 n^{2} + 10 n) = - n^{3} + 9 n^{2} - 15 n + 2

である。 $n = 2$ を入れると $0$ になるので $n - 2$ で割り切れて $- n^{3} + 9 n^{2} - 15 n + 2 = - (n - 2) (n^{2} - 7 n + 1)$ である。よって

P (n) = - (n + 1) (n - 2) (n^{2} - 7 n + 1)

である。

$n = 1$ から $10$ まで $b_{n + 1} - b_{n}$ と $\frac{P ( n )}{2 ^{n + 1}}$ が分数のまま一致した。

(v) $b_{n}$ が最大になる自然数 $n$ を求める

答 $n = 7$

$b_{n + 1} - b_{n}$ の符号は $P (n)$ の符号。3つの因数の符号を追う。

$2^{n + 1} > 0$ なので $b_{n + 1} - b_{n}$ の符号は $P (n) = - (n + 1) (n - 2) (n^{2} - 7 n + 1)$ の符号である。自然数 $n$ では $n + 1 > 0$ である。

$n^{2} - 7 n + 1 = 0$ の解は $\frac{7 \pm 45}{2} = 0.14 \dots, 6.85 \dots$ なので、 $1 ≦ n ≦ 6$ で負、 $n ≧ 7$ で正である。

$n = 1$ ： $(n - 2) < 0$ 、 $(n^{2} - 7 n + 1) < 0$ なので $P < 0$ 。 $b_{2} < b_{1}$
$n = 2$ ： $P = 0$ なので $b_{3} = b_{2}$
$3 ≦ n ≦ 6$ ： $(n - 2) > 0$ 、 $(n^{2} - 7 n + 1) < 0$ なので $P > 0$ 。増加
$n ≧ 7$ ： $(n - 2) > 0$ 、 $(n^{2} - 7 n + 1) > 0$ なので $P < 0$ 。減少

よって $b_{1} > b_{2} = b_{3}$ でいったん下がり、 $b_{3} < b_{4} < \dots < b_{7}$ と上がって、 $b_{7} > b_{8} > \dots$ と下がる。最大の候補は $b_{1}$ と $b_{7}$ だが

b_{1} = 1, b_{7} = \frac{7 \cdot 8 \cdot ( 49 - 35 + 5 )}{2 ^{7}} = \frac{56 \cdot 19}{128} = \frac{133}{16} = 8.3125

なので $b_{7}$ のほうが大きい。したがって $b_{n}$ が最大になるのは

n = 7

のときである。

$b_{n}$ は単調ではなく、いったん負になってから増える。だから「増加から減少に変わる点」だけ見て終わりにせず、最初の $b_{1}$ とも比べる必要がある。

$b_{1}$ から $b_{11}$ を分数で計算すると $1, - 1.5, - 1.5, 1.25, 4.6875, 7.21875, 8.3125, 8.15625, 7.207, 5.908, 4.576$ で、最大は $n = 7$ だった。

$n = 2$ で $P = 0$ （ $b_{3} = b_{2}$ ）になるのを見落とさない。符号が $-, 0, +, \dots, +, -$ と変わる。

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(i)a1​=1、2nan+1​−(n+2)an​=0 とする。cn​=n(n+1)an​​ とおくとき cn+1​ を cn​ で表し、{an​} の一般項を求める

(ii)b1​=1、n+12n​bn+1​−n+1n+2​bn​=2n−1n(n2−4)​ のとき、b2​,b3​,b4​ を求める

(iii)dn​=n(n+1)2n−1​bn​ とおくとき dn+1​ を dn​ で表し、{dn​} の一般項を求める

(iv){bn​} の一般項を求め、bn+1​−bn​=2n+1P(n)​ をみたす n の整式 P(n) を求める

(v)bn​ が最大になる自然数 n を求める

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