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電気通信大学　2024年度　前期日程　情報理工学域

第3問図形と方程式の解答・解説

楕円上の最大値・線分の傾きの最大・円と楕円の共有点・共有点をもつ条件当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

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掲載ページ名「過去の入試問題」／2026/10/14に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(i) $D : x^{2} + \frac{y ^{2}}{4} ≦ 1$ を $P (x, y)$ が動くとき、 $x + 2 y$ の最大値とそのときの $x, y$ を求める

答最大値 $3$ 、 $(x, y) = (\frac{1}{3}, \frac{4 2}{3})$

$x = r cos θ$ 、 $y = 2 r sin θ$ （ $0 ≦ r ≦ 1$ ）とおいて合成する。

$D$ の点は $x = r cos θ$ 、 $y = 2 r sin θ$ （ $0 ≦ r ≦ 1$ ）と書ける。このとき

x + 2 y = r (cos θ + 22 sin θ)

である。合成すると $1 + 8 = 3$ なので

cos θ + 22 sin θ = 3 sin (θ + φ) ≦ 3

である（ $sin φ = \frac{1}{3}$ 、 $cos φ = \frac{2 2}{3}$ ）。よって $x + 2 y ≦ 3 r ≦ 3$ で、等号は $r = 1$ かつ $sin (θ + φ) = 1$ のときである。このとき

cos θ = \frac{1}{3}, sin θ = \frac{2 2}{3}

なので

x = \frac{1}{3}, y = 2 \cdot \frac{2 2}{3} = \frac{4 2}{3}

で、最大値は $3$ である。

「直線 $x + 2 y = k$ が $D$ と共有点をもつ最大の $k$ 」と見て、楕円に接する条件から求めてもよい。

楕円を $4000$ 等分して走査すると最大は $2.9999996$ で、点は $(0.3328, 1.8860)$ だった。

(ii) $P (x, y)$ が $D$ を動くとき、 $\frac{y}{x - 3}$ の最大値とそのときの $x, y$ を求める

答最大値 $\frac{2}{2}$ 、 $(x, y) = (\frac{1}{3}, - \frac{4 2}{3})$

$k = \frac{y}{x - 3}$ は点 $(3, 0)$ と $P$ を結ぶ直線の傾き。接する条件を判別式で出す。

$k = \frac{y}{x - 3}$ とおくと、 $P$ は直線 $y = k (x - 3)$ 上にある。つまり求める最大値は、この直線が $D$ と共有点をもつような $k$ の最大値である。 $D$ の点は $∣ x ∣ ≦ 1 < 3$ なので $x - 3 \neq = 0$ でよい。

$y = k (x - 3)$ を楕円の式に代入すると

4 x^{2} + k^{2} (x - 3)^{2} = 4, (4 + k^{2}) x^{2} - 6 k^{2} x + 9 k^{2} - 4 = 0

である。判別式を計算すると

\frac{D}{4} = 9 k^{4} - (4 + k^{2}) (9 k^{2} - 4) = 16 - 32 k^{2}

となる。共有点をもつ条件は $16 - 32 k^{2} ≧ 0$ 、すなわち $k^{2} ≦ \frac{1}{2}$ である。よって最大値は

k = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}

である。このとき重解で

x = \frac{3 k ^{2}}{4 + k ^{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{9}{2}} = \frac{1}{3}, y = k (x - 3) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{8}{3}) = - \frac{4 2}{3}

である。

(i) の直線 $x + 2 y = 3$ は $y = 0$ のとき $x = 3$ なので、やはり点 $(3, 0)$ を通る。つまり (i) と (ii) は、点 $(3, 0)$ から楕円に引いた2本の接線を上下で見ているだけで、接点が $(\frac{1}{3}, \pm \frac{4 2}{3})$ とそろうのも偶然ではない。

楕円 E と領域 D（塗った部分）。2本の直線はどちらも点 (3, 0) を通り、E に (1/3, 4√2/3) と (1/3, −4√2/3) で接する。右下がりのほうが (i) の x + √2 y = 3、右上がりのほうが (ii) の傾き √2/2 の直線。

走査すると最大は $0.7071067$ で、点は $(0.3328, - 1.8860)$ だった。

$x - 3 < 0$ なので、 $y > 0$ の側では $k < 0$ になる。最大値を与える点は下半分にある。

(iii)円 $C_{a} : (x - a)^{2} + y^{2} = (a + 1)^{2}$ （ $a \neq = - 1$ ）と楕円 $E$ が点 $A (- 1, 0)$ と異なる共有点をもつとき、その共有点の $x$ 座標 $x_{0}$ を $a$ で表す

答 $x_{0} = \frac{3 - 2 a}{3}$

$E$ から $y^{2} = 4 (1 - x^{2})$ を代入する。 $x = - 1$ が解であることが分かっているので因数分解できる。

$C_{a}$ はどの $a$ についても $A (- 1, 0)$ を通る（ $(- 1 - a)^{2} = (a + 1)^{2}$ ）。共有点では $y^{2} = 4 (1 - x^{2})$ なので、円の式に代入すると

(x - a)^{2} + 4 (1 - x^{2}) = (a + 1)^{2}

である。展開して整理すると $a^{2}$ が消えて

- 3 x^{2} - 2 a x + 4 = 2 a + 1, 3 x^{2} + 2 a x + 2 a - 3 = 0 \dots (*)

となる。 $x = - 1$ を入れると $3 - 2 a + 2 a - 3 = 0$ なので、 $x = - 1$ は $(*)$ の解である。解と係数の関係から、もう一方の解は

(- 1) + x_{0} = - \frac{2 a}{3}, x_{0} = 1 - \frac{2 a}{3} = \frac{3 - 2 a}{3}

である。

$a = 1$ では $x_{0} = \frac{1}{3}$ で、実際に $(\frac{1}{3}, \pm 1.8856)$ が両方の曲線上にあった。

(iv)円 $C_{a}$ と楕円 $E$ が点 $A (- 1, 0)$ と異なる共有点をもつような $a$ の範囲を求める

答 $0 ≦ a < 3$

$x_{0}$ が楕円の $x$ の範囲 $- 1 ≦ x ≦ 1$ に入り、しかも $x_{0} \neq = - 1$ であること。

$(*)$ の解 $x_{0}$ に対応する点が実際に楕円上にあるには $- 1 ≦ x_{0} ≦ 1$ が必要で、それで十分である（このとき $y = \pm 2 1 - x_{0}^{2}$ が決まる）。

さらに $A$ と異なる点でなければならない。 $x_{0} = - 1$ だと $y = 0$ となって $A$ 自身なので、 $x_{0} \neq = - 1$ が要る。一方 $x_{0} = 1$ なら点は $(1, 0)$ で、 $A$ とは異なるのでよい。まとめると

- 1 < x_{0} ≦ 1

である。 $x_{0} = \frac{3 - 2 a}{3}$ を入れると

$x_{0} ≦ 1$ ： $3 - 2 a ≦ 3$ より $a ≧ 0$
$x_{0} > - 1$ ： $3 - 2 a > - 3$ より $a < 3$

である。したがって

0 ≦ a < 3

である（ $a \neq = - 1$ は自動的に満たされる）。

楕円 E と円 C_a（a = 0, 1, 2 の3つ）。どの円も A(−1, 0) を通る。a が 0 から 3 に近づくにつれて、もう1つの共有点は (1, 0) から A に向かって動く。

$a = - 2, - 0.5, - 0.01, 0, 0.5, 1, 2, 2.99, 3, 3.01, 3.5$ で調べると、 $A$ 以外の共有点があるのは $a = 0, 0.5, 1, 2, 2.99$ のときだけだった。

$x_{0} = 1$ のとき共有点は $(1, 0)$ の1点だけだが、 $A$ とは別の点なので範囲に入る。端の扱いに注意。

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問題文について

(i)D:x2+4y2​≦1 を P(x,y) が動くとき、x+2​y の最大値とそのときの x,y を求める

(ii)P(x,y) が D を動くとき、x−3y​ の最大値とそのときの x,y を求める

(iii)円 Ca​:(x−a)2+y2=(a+1)2（a=−1）と楕円 E が点 A(−1,0) と異なる共有点をもつとき、その共有点の x 座標 x0​ を a で表す

(iv)円 Ca​ と楕円 E が点 A(−1,0) と異なる共有点をもつような a の範囲を求める