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電気通信大学　2024年度　前期日程　情報理工学域

第2問微分積分の解答・解説

指数関数の置き換え・ルートを含む関数の微分・置換積分・回転体の体積当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。情報理工学域の問題文は電気通信大学が公開しています。

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掲載ページ名「過去の入試問題」／2026/10/14に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(i) $f (x) = e^{x} 6 - e^{x}$ 、 $g (x) = 22 e^{\frac{x}{2}}$ とする。 $6 - e^{x} ≧ 0$ となる範囲 $x ≦ x_{0}$ の $x_{0}$ を求め、 $C_{1} : y = f (x)$ と $C_{2} : y = g (x)$ の共有点をすべて求める

答 $x_{0} = lo g 6$ 。共有点は $(lo g 2, 4)$ と $(lo g 4, 42)$

$t = e^{\frac{x}{2}} > 0$ とおくと $e^{x} = t^{2}$ 。 $t$ の4次式が複2次式になる。

$6 - e^{x} ≧ 0$ は $e^{x} ≦ 6$ 、すなわち $x ≦ lo g 6$ である。よって $x_{0} = lo g 6$ である。

共有点は $f (x) = g (x)$ から求める。 $t = e^{\frac{x}{2}} > 0$ とおくと $e^{x} = t^{2}$ で

t^{2} 6 - t^{2} = 22 t, t 6 - t^{2} = 22

である（ $t > 0$ で割った）。両辺とも正なので2乗して

t^{2} (6 - t^{2}) = 8, t^{4} - 6 t^{2} + 8 = 0, (t^{2} - 2) (t^{2} - 4) = 0

となる。 $t^{2} = e^{x}$ なので $e^{x} = 2$ または $e^{x} = 4$ 、つまり $x = lo g 2, lo g 4$ である。どちらも $x ≦ lo g 6$ を満たす。 $y$ の値は

f (lo g 2) = 24 = 4, f (lo g 4) = 42

である。よって共有点は $(lo g 2, 4)$ と $(lo g 4, 42)$ である。

$x = lo g 2$ で $f = g = 4$ 、 $x = lo g 4$ で $f = g = 5.6568542 = 42$ だった。

2乗するので、両辺が正であることを確かめてから。ここは $t > 0$ と $≧ 0$ から明らか。

(ii) $x < x_{0}$ で $f^{'} (x)$ を求め、 $f (x)$ の極値を求める

答 $f^{'} (x) = \frac{3 e ^{x} ( 4 - e ^{x} )}{2 6 - e ^{x}}$ 。 $x = lo g 4$ で極大値 $42$ （極小値はない）

積の微分。 $6 - e^{x}$ でくくる。

f^{'} (x) = e^{x} 6 - e^{x} + e^{x} \cdot \frac{- e ^{x}}{2 6 - e ^{x}} = \frac{e ^{x} { 2 ( 6 - e ^{x} ) - e ^{x} }}{2 6 - e ^{x}}

である。中かっこは $12 - 3 e^{x} = 3 (4 - e^{x})$ なので

f^{'} (x) = \frac{3 e ^{x} ( 4 - e ^{x} )}{2 6 - e ^{x}}

である。 $x < lo g 6$ では分母も $e^{x}$ も正なので、符号は $4 - e^{x}$ で決まる。 $x < lo g 4$ で正、 $lo g 4 < x < lo g 6$ で負なので、 $x = lo g 4$ で極大である。極小値はない。

f (lo g 4) = 4 6 - 4 = 42

が極大値である。

極大をとる点が $C_{1}$ と $C_{2}$ の共有点の1つになっている。だから $C_{2}$ は $C_{1}$ の頂上を通る。

数値微分と式が一致し、極大値は $f (lo g 4) = 5.6568542 = 42$ だった。

(iii)不定積分 $I = \int e^{x} 6 - e^{x} d x$ を求める

答 $I = - \frac{2}{3} (6 - e^{x})^{\frac{3}{2}}$ （積分定数は省略）

$u = 6 - e^{x}$ とおくと $d u = - e^{x} d x$ 。

$u = 6 - e^{x}$ とおくと $d u = - e^{x} d x$ なので

I = \int u (- d u) = - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} = - \frac{2}{3} (6 - e^{x})^{\frac{3}{2}}

である。

この式を数値微分すると $e^{x} 6 - e^{x}$ と一致した。

(iv) $C_{1}$ と $C_{2}$ で囲まれた領域 $D$ の面積 $S$ を求める

答 $S = \frac{40 - 28 2}{3}$

$lo g 2 < x < lo g 4$ で $f > g$ 。(iii) を使う。

$x = lo g 3$ で $f = 33 = 5.19 \dots$ 、 $g = 26 = 4.89 \dots$ なので、 $lo g 2 < x < lo g 4$ では $f > g$ である。よって

S = \int_{l o g 2}^{l o g 4} {f (x) - g (x)} d x = [- \frac{2}{3} (6 - e^{x})^{\frac{3}{2}} - 42 e^{\frac{x}{2}}]_{l o g 2}^{l o g 4}

である。 $e^{\frac{x}{2}}$ は $x = lo g 2, lo g 4$ でそれぞれ $2, 2$ だから

(上端) = - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 82 = - \frac{4 2}{3} - 82

(下端) = - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 42 \cdot 2 = - \frac{16}{3} - 8

である。引き算して

S = (\frac{16}{3} + 8) - (\frac{4 2}{3} + 82) = \frac{40}{3} - \frac{28 2}{3} = \frac{40 - 28 2}{3}

である（ $0.134 \dots$ ）。

C1（山の形の曲線）と C2（右上がりの曲線）。2つは log 2 と log 4 で交わり、そのあいだの細い部分が D。点線は x = log 6 で、C1 はここで x 軸に達する。

数値積分すると $0.134006751$ で、 $\frac{40 - 28 2}{3} = 0.134006751$ と一致した。

(v) $D$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ を求める

答 $V = \frac{4 π}{3}$

$f^{2} - g^{2} = 6 e^{2 x} - e^{3 x} - 8 e^{x}$ 。 $e^{x}$ の多項式なのでそのまま積分できる。

$D$ は $x$ 軸より上にあるので、断面は円環で

V = π \int_{l o g 2}^{l o g 4} {f (x)^{2} - g (x)^{2}} d x

である。 $f^{2} = e^{2 x} (6 - e^{x})$ 、 $g^{2} = 8 e^{x}$ なので

f^{2} - g^{2} = 6 e^{2 x} - e^{3 x} - 8 e^{x}

で、原始関数は $3 e^{2 x} - \frac{e ^{3 x}}{3} - 8 e^{x}$ である。 $e^{x} = 4$ と $e^{x} = 2$ を代入すると

(上端) = 48 - \frac{64}{3} - 32 = - \frac{16}{3}, (下端) = 12 - \frac{8}{3} - 16 = - \frac{20}{3}

である。したがって

V = π (- \frac{16}{3} + \frac{20}{3}) = \frac{4 π}{3}

である。

面積はが残って汚いのに、体積は2乗するので $e^{x}$ の多項式になり、きれいな値になる。

数値積分すると $4.188790205$ で、 $\frac{4 π}{3} = 4.188790205$ と一致した。

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問題文について

(i)f(x)=ex6−ex​、g(x)=22​e2x​ とする。6−ex≧0 となる範囲 x≦x0​ の x0​ を求め、C1​:y=f(x) と C2​:y=g(x) の共有点をすべて求める

(ii)x<x0​ で f′(x) を求め、f(x) の極値を求める

(iii)不定積分 I=∫ex6−ex​dx を求める

(iv)C1​ と C2​ で囲まれた領域 D の面積 S を求める

(v)D を x 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 V を求める