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電気通信大学　2024年度　前期日程　情報理工学域

電通大 2024年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。情報理工学域の問題文は電気通信大学が公開しています。

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掲載ページ名「過去の入試問題」／2026/10/14に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

第1問　三角関数・微分積分

2倍角の公式・三角方程式・合成関数の微分・三角関数の定積分当サイトの体感難易度：標準

(i) $- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$ で $f (x) = \frac{1}{cos ^{2} x} - 16 sin^{2} x$ とする。 $0 < x < \frac{π}{2}$ での $f (x) = 0$ の解 $α, β$ （ $α < β$ ）を求める

答 $α = \frac{π}{12}$ 、 $β = \frac{5 π}{12}$

分母を払うと $16 sin^{2} x cos^{2} x = 1$ 。 $2 sin x cos x = sin 2 x$ でまとめる。

$cos x \neq = 0$ なので、 $f (x) = 0$ は両辺に $cos^{2} x$ を掛けて

1 = 16 sin^{2} x cos^{2} x = 4 (2 sin x cos x)^{2} = 4 sin^{2} 2 x

となる。よって $sin^{2} 2 x = \frac{1}{4}$ 、 $sin 2 x = \pm \frac{1}{2}$ である。 $0 < x < \frac{π}{2}$ では $0 < 2 x < π$ なので $sin 2 x > 0$ で

sin 2 x = \frac{1}{2}, 2 x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}

である。したがって

α = \frac{π}{12}, β = \frac{5 π}{12}

である。

$f (\frac{π}{12})$ と $f (\frac{5 π}{12})$ はどちらも $0$ （誤差 $1 0^{- 15}$ 以下）だった。

(ii) $tan α, tan β$ の値を求める

答 $tan α = 2 - 3$ 、 $tan β = 2 + 3$

加法定理でもよいが、 $1 + tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$ を使うと (i) の式から直接出る。

$t = tan x$ とおくと $\frac{1}{cos ^{2} x} = 1 + t^{2}$ 、 $sin^{2} x = \frac{t ^{2}}{1 + t ^{2}}$ なので、 $f (x) = 0$ は

1 + t^{2} = \frac{16 t ^{2}}{1 + t ^{2}}, (1 + t^{2})^{2} = 16 t^{2}

となる。 $0 < x < \frac{π}{2}$ では $t > 0$ なので $1 + t^{2} = 4 t$ 、すなわち

t^{2} - 4 t + 1 = 0, t = 2 \pm 3

である。 $tan$ は $0 < x < \frac{π}{2}$ で増加するから、 $α < β$ より

tan α = 2 - 3, tan β = 2 + 3

である。

$tan \frac{π}{12} = 2 - 3$ 、 $tan \frac{5 π}{12} = 2 + 3$ は加法定理（ $\frac{π}{12} = \frac{π}{3} - \frac{π}{4}$ ）からも出る。積が $1$ なのは $α + β = \frac{π}{2}$ だから。

$tan \frac{π}{12} = 0.2679492 = 2 - 3$ 、 $tan \frac{5 π}{12} = 3.7320508 = 2 + 3$ だった。

(iii) $- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$ における $f^{'} (x) = 0$ の解をすべて求める

答 $x = 0, \pm \frac{π}{3}$

$f^{'} = \frac{2 sin x ( 1 - 16 cos ^{4} x )}{cos ^{3} x}$ と整理する。

$\frac{d}{d x} (cos x)^{- 2} = 2 (cos x)^{- 3} sin x$ なので

f^{'} (x) = \frac{2 sin x}{cos ^{3} x} - 32 sin x cos x = \frac{2 sin x ( 1 - 16 cos ^{4} x )}{cos ^{3} x}

である。 $cos x > 0$ なので $f^{'} = 0$ は $sin x = 0$ または $cos^{4} x = \frac{1}{16}$ である。後者は $cos^{2} x = \frac{1}{4}$ 、 $cos x > 0$ より $cos x = \frac{1}{2}$ である。よって

x = 0, x = \pm \frac{π}{3}

である。

数値微分すると $x = 0, \pm \frac{π}{3}$ で $f^{'} = 0$ になった。

(iv) $- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$ における $f (x)$ の極値をすべて求める

答 $x = 0$ で極大値 $1$ 、 $x = \pm \frac{π}{3}$ で極小値 $- 8$

$f^{'}$ の符号を $sin x$ と $1 - 16 cos^{4} x$ に分けて調べる。

$cos^{3} x > 0$ なので、 $f^{'}$ の符号は $sin x$ と $1 - 16 cos^{4} x$ の積の符号である。 $∣ x ∣ < \frac{π}{3}$ では $cos x > \frac{1}{2}$ なので $1 - 16 cos^{4} x < 0$ 、 $\frac{π}{3} < ∣ x ∣ < \frac{π}{2}$ では $cos x < \frac{1}{2}$ なので $1 - 16 cos^{4} x > 0$ である。

$- \frac{π}{2} < x < - \frac{π}{3}$ ： $sin x < 0$ 、 $1 - 16 cos^{4} x > 0$ なので $f^{'} < 0$ （減少）
$- \frac{π}{3} < x < 0$ ： $sin x < 0$ 、 $1 - 16 cos^{4} x < 0$ なので $f^{'} > 0$ （増加）
$0 < x < \frac{π}{3}$ ： $sin x > 0$ 、 $1 - 16 cos^{4} x < 0$ なので $f^{'} < 0$ （減少）
$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ ： $sin x > 0$ 、 $1 - 16 cos^{4} x > 0$ なので $f^{'} > 0$ （増加）

よって $x = \pm \frac{π}{3}$ で極小、 $x = 0$ で極大である。値は

f (0) = 1 - 0 = 1, f (\pm \frac{π}{3}) = \frac{1}{( \frac{1}{2} ) ^{2}} - 16 \cdot \frac{3}{4} = 4 - 12 = - 8

である。

y = f(x) のグラフ。偶関数で、x = 0 で極大 1、x = ±π/3 で極小 −8。x = ±π/2 に近づくと +∞ に発散する。塗った部分が (v) の D。

$f^{'}$ の符号は $x = - 1.3, - 0.5, 0.5, 1.3$ で順に $-, +, -, +$ で、増減表と合った。

(v) $0 < x < \frac{π}{2}$ で曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸で囲まれた領域 $D$ の面積 $S$ を求める

答 $S = \frac{8 π}{3} - 23$

$α < x < β$ で $f < 0$ 。 $16 sin^{2} x = 8 - 8 cos 2 x$ と直す。

$0 < x < \frac{π}{2}$ で $f = 0$ となるのは $x = α, β$ だけで、その間では $f < 0$ （たとえば $f (\frac{π}{4}) = 2 - 8 = - 6$ ）。囲まれた領域はここだけである。よって

S = \int_{\frac{π}{12}}^{\frac{5 π}{12}} (16 sin^{2} x - \frac{1}{cos ^{2} x}) d x

である。 $16 sin^{2} x = 8 (1 - cos 2 x)$ なので

S = [8 x - 4 sin 2 x - tan x]_{\frac{π}{12}}^{\frac{5 π}{12}}

である。 $sin \frac{5 π}{6} = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ なので $- 4 sin 2 x$ の項は両端で同じ値になり、差し引きで消える。残るのは

S = 8 (\frac{5 π}{12} - \frac{π}{12}) - {(2 + 3) - (2 - 3)} = \frac{8 π}{3} - 23

である（ $4.913 \dots$ ）。(ii) の値がそのまま効く。

数値積分すると $4.913478794$ で、 $\frac{8 π}{3} - 23 = 4.913478794$ と一致した。

$f < 0$ の区間なので、 $\int f d x$ ではなく $\int (- f) d x$ を計算する。

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第2問　微分積分

指数関数の置き換え・ルートを含む関数の微分・置換積分・回転体の体積当サイトの体感難易度：標準

(i) $f (x) = e^{x} 6 - e^{x}$ 、 $g (x) = 22 e^{\frac{x}{2}}$ とする。 $6 - e^{x} ≧ 0$ となる範囲 $x ≦ x_{0}$ の $x_{0}$ を求め、 $C_{1} : y = f (x)$ と $C_{2} : y = g (x)$ の共有点をすべて求める

答 $x_{0} = lo g 6$ 。共有点は $(lo g 2, 4)$ と $(lo g 4, 42)$

$t = e^{\frac{x}{2}} > 0$ とおくと $e^{x} = t^{2}$ 。 $t$ の4次式が複2次式になる。

$6 - e^{x} ≧ 0$ は $e^{x} ≦ 6$ 、すなわち $x ≦ lo g 6$ である。よって $x_{0} = lo g 6$ である。

共有点は $f (x) = g (x)$ から求める。 $t = e^{\frac{x}{2}} > 0$ とおくと $e^{x} = t^{2}$ で

t^{2} 6 - t^{2} = 22 t, t 6 - t^{2} = 22

である（ $t > 0$ で割った）。両辺とも正なので2乗して

t^{2} (6 - t^{2}) = 8, t^{4} - 6 t^{2} + 8 = 0, (t^{2} - 2) (t^{2} - 4) = 0

となる。 $t^{2} = e^{x}$ なので $e^{x} = 2$ または $e^{x} = 4$ 、つまり $x = lo g 2, lo g 4$ である。どちらも $x ≦ lo g 6$ を満たす。 $y$ の値は

f (lo g 2) = 24 = 4, f (lo g 4) = 42

である。よって共有点は $(lo g 2, 4)$ と $(lo g 4, 42)$ である。

$x = lo g 2$ で $f = g = 4$ 、 $x = lo g 4$ で $f = g = 5.6568542 = 42$ だった。

2乗するので、両辺が正であることを確かめてから。ここは $t > 0$ と $≧ 0$ から明らか。

(ii) $x < x_{0}$ で $f^{'} (x)$ を求め、 $f (x)$ の極値を求める

答 $f^{'} (x) = \frac{3 e ^{x} ( 4 - e ^{x} )}{2 6 - e ^{x}}$ 。 $x = lo g 4$ で極大値 $42$ （極小値はない）

積の微分。 $6 - e^{x}$ でくくる。

f^{'} (x) = e^{x} 6 - e^{x} + e^{x} \cdot \frac{- e ^{x}}{2 6 - e ^{x}} = \frac{e ^{x} { 2 ( 6 - e ^{x} ) - e ^{x} }}{2 6 - e ^{x}}

である。中かっこは $12 - 3 e^{x} = 3 (4 - e^{x})$ なので

f^{'} (x) = \frac{3 e ^{x} ( 4 - e ^{x} )}{2 6 - e ^{x}}

である。 $x < lo g 6$ では分母も $e^{x}$ も正なので、符号は $4 - e^{x}$ で決まる。 $x < lo g 4$ で正、 $lo g 4 < x < lo g 6$ で負なので、 $x = lo g 4$ で極大である。極小値はない。

f (lo g 4) = 4 6 - 4 = 42

が極大値である。

極大をとる点が $C_{1}$ と $C_{2}$ の共有点の1つになっている。だから $C_{2}$ は $C_{1}$ の頂上を通る。

数値微分と式が一致し、極大値は $f (lo g 4) = 5.6568542 = 42$ だった。

(iii)不定積分 $I = \int e^{x} 6 - e^{x} d x$ を求める

答 $I = - \frac{2}{3} (6 - e^{x})^{\frac{3}{2}}$ （積分定数は省略）

$u = 6 - e^{x}$ とおくと $d u = - e^{x} d x$ 。

$u = 6 - e^{x}$ とおくと $d u = - e^{x} d x$ なので

I = \int u (- d u) = - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} = - \frac{2}{3} (6 - e^{x})^{\frac{3}{2}}

である。

この式を数値微分すると $e^{x} 6 - e^{x}$ と一致した。

(iv) $C_{1}$ と $C_{2}$ で囲まれた領域 $D$ の面積 $S$ を求める

答 $S = \frac{40 - 28 2}{3}$

$lo g 2 < x < lo g 4$ で $f > g$ 。(iii) を使う。

$x = lo g 3$ で $f = 33 = 5.19 \dots$ 、 $g = 26 = 4.89 \dots$ なので、 $lo g 2 < x < lo g 4$ では $f > g$ である。よって

S = \int_{l o g 2}^{l o g 4} {f (x) - g (x)} d x = [- \frac{2}{3} (6 - e^{x})^{\frac{3}{2}} - 42 e^{\frac{x}{2}}]_{l o g 2}^{l o g 4}

である。 $e^{\frac{x}{2}}$ は $x = lo g 2, lo g 4$ でそれぞれ $2, 2$ だから

(上端) = - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 82 = - \frac{4 2}{3} - 82

(下端) = - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 42 \cdot 2 = - \frac{16}{3} - 8

である。引き算して

S = (\frac{16}{3} + 8) - (\frac{4 2}{3} + 82) = \frac{40}{3} - \frac{28 2}{3} = \frac{40 - 28 2}{3}

である（ $0.134 \dots$ ）。

C1（山の形の曲線）と C2（右上がりの曲線）。2つは log 2 と log 4 で交わり、そのあいだの細い部分が D。点線は x = log 6 で、C1 はここで x 軸に達する。

数値積分すると $0.134006751$ で、 $\frac{40 - 28 2}{3} = 0.134006751$ と一致した。

(v) $D$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ を求める

答 $V = \frac{4 π}{3}$

$f^{2} - g^{2} = 6 e^{2 x} - e^{3 x} - 8 e^{x}$ 。 $e^{x}$ の多項式なのでそのまま積分できる。

$D$ は $x$ 軸より上にあるので、断面は円環で

V = π \int_{l o g 2}^{l o g 4} {f (x)^{2} - g (x)^{2}} d x

である。 $f^{2} = e^{2 x} (6 - e^{x})$ 、 $g^{2} = 8 e^{x}$ なので

f^{2} - g^{2} = 6 e^{2 x} - e^{3 x} - 8 e^{x}

で、原始関数は $3 e^{2 x} - \frac{e ^{3 x}}{3} - 8 e^{x}$ である。 $e^{x} = 4$ と $e^{x} = 2$ を代入すると

(上端) = 48 - \frac{64}{3} - 32 = - \frac{16}{3}, (下端) = 12 - \frac{8}{3} - 16 = - \frac{20}{3}

である。したがって

V = π (- \frac{16}{3} + \frac{20}{3}) = \frac{4 π}{3}

である。

面積はが残って汚いのに、体積は2乗するので $e^{x}$ の多項式になり、きれいな値になる。

数値積分すると $4.188790205$ で、 $\frac{4 π}{3} = 4.188790205$ と一致した。

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第3問　図形と方程式

楕円上の最大値・線分の傾きの最大・円と楕円の共有点・共有点をもつ条件当サイトの体感難易度：やや難

(i) $D : x^{2} + \frac{y ^{2}}{4} ≦ 1$ を $P (x, y)$ が動くとき、 $x + 2 y$ の最大値とそのときの $x, y$ を求める

答最大値 $3$ 、 $(x, y) = (\frac{1}{3}, \frac{4 2}{3})$

$x = r cos θ$ 、 $y = 2 r sin θ$ （ $0 ≦ r ≦ 1$ ）とおいて合成する。

$D$ の点は $x = r cos θ$ 、 $y = 2 r sin θ$ （ $0 ≦ r ≦ 1$ ）と書ける。このとき

x + 2 y = r (cos θ + 22 sin θ)

である。合成すると $1 + 8 = 3$ なので

cos θ + 22 sin θ = 3 sin (θ + φ) ≦ 3

である（ $sin φ = \frac{1}{3}$ 、 $cos φ = \frac{2 2}{3}$ ）。よって $x + 2 y ≦ 3 r ≦ 3$ で、等号は $r = 1$ かつ $sin (θ + φ) = 1$ のときである。このとき

cos θ = \frac{1}{3}, sin θ = \frac{2 2}{3}

なので

x = \frac{1}{3}, y = 2 \cdot \frac{2 2}{3} = \frac{4 2}{3}

で、最大値は $3$ である。

「直線 $x + 2 y = k$ が $D$ と共有点をもつ最大の $k$ 」と見て、楕円に接する条件から求めてもよい。

楕円を $4000$ 等分して走査すると最大は $2.9999996$ で、点は $(0.3328, 1.8860)$ だった。

(ii) $P (x, y)$ が $D$ を動くとき、 $\frac{y}{x - 3}$ の最大値とそのときの $x, y$ を求める

答最大値 $\frac{2}{2}$ 、 $(x, y) = (\frac{1}{3}, - \frac{4 2}{3})$

$k = \frac{y}{x - 3}$ は点 $(3, 0)$ と $P$ を結ぶ直線の傾き。接する条件を判別式で出す。

$k = \frac{y}{x - 3}$ とおくと、 $P$ は直線 $y = k (x - 3)$ 上にある。つまり求める最大値は、この直線が $D$ と共有点をもつような $k$ の最大値である。 $D$ の点は $∣ x ∣ ≦ 1 < 3$ なので $x - 3 \neq = 0$ でよい。

$y = k (x - 3)$ を楕円の式に代入すると

4 x^{2} + k^{2} (x - 3)^{2} = 4, (4 + k^{2}) x^{2} - 6 k^{2} x + 9 k^{2} - 4 = 0

である。判別式を計算すると

\frac{D}{4} = 9 k^{4} - (4 + k^{2}) (9 k^{2} - 4) = 16 - 32 k^{2}

となる。共有点をもつ条件は $16 - 32 k^{2} ≧ 0$ 、すなわち $k^{2} ≦ \frac{1}{2}$ である。よって最大値は

k = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}

である。このとき重解で

x = \frac{3 k ^{2}}{4 + k ^{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{9}{2}} = \frac{1}{3}, y = k (x - 3) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{8}{3}) = - \frac{4 2}{3}

である。

(i) の直線 $x + 2 y = 3$ は $y = 0$ のとき $x = 3$ なので、やはり点 $(3, 0)$ を通る。つまり (i) と (ii) は、点 $(3, 0)$ から楕円に引いた2本の接線を上下で見ているだけで、接点が $(\frac{1}{3}, \pm \frac{4 2}{3})$ とそろうのも偶然ではない。

楕円 E と領域 D（塗った部分）。2本の直線はどちらも点 (3, 0) を通り、E に (1/3, 4√2/3) と (1/3, −4√2/3) で接する。右下がりのほうが (i) の x + √2 y = 3、右上がりのほうが (ii) の傾き √2/2 の直線。

走査すると最大は $0.7071067$ で、点は $(0.3328, - 1.8860)$ だった。

$x - 3 < 0$ なので、 $y > 0$ の側では $k < 0$ になる。最大値を与える点は下半分にある。

(iii)円 $C_{a} : (x - a)^{2} + y^{2} = (a + 1)^{2}$ （ $a \neq = - 1$ ）と楕円 $E$ が点 $A (- 1, 0)$ と異なる共有点をもつとき、その共有点の $x$ 座標 $x_{0}$ を $a$ で表す

答 $x_{0} = \frac{3 - 2 a}{3}$

$E$ から $y^{2} = 4 (1 - x^{2})$ を代入する。 $x = - 1$ が解であることが分かっているので因数分解できる。

$C_{a}$ はどの $a$ についても $A (- 1, 0)$ を通る（ $(- 1 - a)^{2} = (a + 1)^{2}$ ）。共有点では $y^{2} = 4 (1 - x^{2})$ なので、円の式に代入すると

(x - a)^{2} + 4 (1 - x^{2}) = (a + 1)^{2}

である。展開して整理すると $a^{2}$ が消えて

- 3 x^{2} - 2 a x + 4 = 2 a + 1, 3 x^{2} + 2 a x + 2 a - 3 = 0 \dots (*)

となる。 $x = - 1$ を入れると $3 - 2 a + 2 a - 3 = 0$ なので、 $x = - 1$ は $(*)$ の解である。解と係数の関係から、もう一方の解は

(- 1) + x_{0} = - \frac{2 a}{3}, x_{0} = 1 - \frac{2 a}{3} = \frac{3 - 2 a}{3}

である。

$a = 1$ では $x_{0} = \frac{1}{3}$ で、実際に $(\frac{1}{3}, \pm 1.8856)$ が両方の曲線上にあった。

(iv)円 $C_{a}$ と楕円 $E$ が点 $A (- 1, 0)$ と異なる共有点をもつような $a$ の範囲を求める

答 $0 ≦ a < 3$

$x_{0}$ が楕円の $x$ の範囲 $- 1 ≦ x ≦ 1$ に入り、しかも $x_{0} \neq = - 1$ であること。

$(*)$ の解 $x_{0}$ に対応する点が実際に楕円上にあるには $- 1 ≦ x_{0} ≦ 1$ が必要で、それで十分である（このとき $y = \pm 2 1 - x_{0}^{2}$ が決まる）。

さらに $A$ と異なる点でなければならない。 $x_{0} = - 1$ だと $y = 0$ となって $A$ 自身なので、 $x_{0} \neq = - 1$ が要る。一方 $x_{0} = 1$ なら点は $(1, 0)$ で、 $A$ とは異なるのでよい。まとめると

- 1 < x_{0} ≦ 1

である。 $x_{0} = \frac{3 - 2 a}{3}$ を入れると

$x_{0} ≦ 1$ ： $3 - 2 a ≦ 3$ より $a ≧ 0$
$x_{0} > - 1$ ： $3 - 2 a > - 3$ より $a < 3$

である。したがって

0 ≦ a < 3

である（ $a \neq = - 1$ は自動的に満たされる）。

楕円 E と円 C_a（a = 0, 1, 2 の3つ）。どの円も A(−1, 0) を通る。a が 0 から 3 に近づくにつれて、もう1つの共有点は (1, 0) から A に向かって動く。

$a = - 2, - 0.5, - 0.01, 0, 0.5, 1, 2, 2.99, 3, 3.01, 3.5$ で調べると、 $A$ 以外の共有点があるのは $a = 0, 0.5, 1, 2, 2.99$ のときだけだった。

$x_{0} = 1$ のとき共有点は $(1, 0)$ の1点だけだが、 $A$ とは別の点なので範囲に入る。端の扱いに注意。

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第4問　数列

置き換えで等比数列にする・階差数列・分数式の約分・最大になる項当サイトの体感難易度：やや難

(i) $a_{1} = 1$ 、 $2 n a_{n + 1} - (n + 2) a_{n} = 0$ とする。 $c_{n} = \frac{a _{n}}{n ( n + 1 )}$ とおくとき $c_{n + 1}$ を $c_{n}$ で表し、 ${a_{n}}$ の一般項を求める

答 $c_{n + 1} = \frac{c _{n}}{2}$ 、 $a_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2 ^{n}}$

$a_{n + 1} = \frac{( n + 2 ) a _{n}}{2 n}$ を $c_{n + 1}$ の定義に入れると $(n + 2)$ が約分される。

漸化式より $a_{n + 1} = \frac{( n + 2 ) a _{n}}{2 n}$ である。よって

c_{n + 1} = \frac{a _{n + 1}}{( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{( n + 2 ) a _{n}}{2 n ( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{a _{n}}{2 n ( n + 1 )} = \frac{c _{n}}{2}

である。 $c_{1} = \frac{a _{1}}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ なので ${c_{n}}$ は初項 $\frac{1}{2}$ 、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列で

c_{n} = \frac{1}{2 ^{n}}

である。したがって

a_{n} = n (n + 1) c_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2 ^{n}}

である。

漸化式を分数のまま回すと、 $n = 1$ から $11$ までこの式と一致した。

(ii) $b_{1} = 1$ 、 $\frac{2 n}{n + 1} b_{n + 1} - \frac{n + 2}{n + 1} b_{n} = \frac{n ( n ^{2} - 4 )}{2 ^{n - 1}}$ のとき、 $b_{2}, b_{3}, b_{4}$ を求める

答 $b_{2} = - \frac{3}{2}$ 、 $b_{3} = - \frac{3}{2}$ 、 $b_{4} = \frac{5}{4}$

$b_{n + 1} = \frac{n + 2}{2 n} b_{n} + \frac{( n + 1 ) ( n ^{2} - 4 )}{2 ^{n}}$ に $n = 1, 2, 3$ を入れる。

両辺に $\frac{n + 1}{2 n}$ を掛けると

b_{n + 1} = \frac{n + 2}{2 n} b_{n} + \frac{( n + 1 ) ( n ^{2} - 4 )}{2 ^{n}}

である。順に代入すると

b_{2} = \frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{2 \cdot ( - 3 )}{2} = \frac{3}{2} - 3 = - \frac{3}{2}

b_{3} = \frac{4}{4} \cdot (- \frac{3}{2}) + \frac{3 \cdot 0}{4} = - \frac{3}{2}

b_{4} = \frac{5}{6} \cdot (- \frac{3}{2}) + \frac{4 \cdot 5}{8} = - \frac{5}{4} + \frac{5}{2} = \frac{5}{4}

である。

$n = 2$ のとき右辺の $n^{2} - 4$ が $0$ になるので $b_{3} = b_{2}$ になる。(v) で効いてくる。

分数のまま計算して $b_{2} = - \frac{3}{2}$ 、 $b_{3} = - \frac{3}{2}$ 、 $b_{4} = \frac{5}{4}$ を確かめた。

(iii) $d_{n} = \frac{2 ^{n - 1}}{n ( n + 1 )} b_{n}$ とおくとき $d_{n + 1}$ を $d_{n}$ で表し、 ${d_{n}}$ の一般項を求める

答 $d_{n + 1} = d_{n} + n - 2$ 、 $d_{n} = \frac{n ^{2} - 5 n + 5}{2}$

$b_{n + 1}$ の式を入れる。第1項が $d_{n}$ に、第2項が $\frac{n ^{2} - 4}{n + 2} = n - 2$ になる。

(ii) の形を使うと

d_{n + 1} = \frac{2 ^{n}}{( n + 1 ) ( n + 2 )} {\frac{n + 2}{2 n} b_{n} + \frac{( n + 1 ) ( n ^{2} - 4 )}{2 ^{n}}}

である。第1項は

\frac{2 ^{n} ( n + 2 )}{2 n ( n + 1 ) ( n + 2 )} b_{n} = \frac{2 ^{n - 1}}{n ( n + 1 )} b_{n} = d_{n}

で、第2項は

\frac{( n + 1 ) ( n ^{2} - 4 )}{( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{( n - 2 ) ( n + 2 )}{n + 2} = n - 2

である。よって

d_{n + 1} = d_{n} + n - 2

である。 $d_{1} = \frac{2 ^{0}}{1 \cdot 2} b_{1} = \frac{1}{2}$ なので、 $n ≧ 2$ のとき

d_{n} = \frac{1}{2} + k = 1 \sum n - 1 (k - 2) = \frac{1}{2} + \frac{( n - 1 ) n}{2} - 2 (n - 1)

である。通分すると

d_{n} = \frac{1 + ( n - 1 ) ( n - 4 )}{2} = \frac{n ^{2} - 5 n + 5}{2}

で、 $n = 1$ でも $\frac{1 - 5 + 5}{2} = \frac{1}{2}$ となり成り立つ。

$d_{n}$ を定義どおり計算すると、 $n = 1$ から $11$ まで $\frac{n ^{2} - 5 n + 5}{2}$ と一致した。

(iv) ${b_{n}}$ の一般項を求め、 $b_{n + 1} - b_{n} = \frac{P ( n )}{2 ^{n + 1}}$ をみたす $n$ の整式 $P (n)$ を求める

答 $b_{n} = \frac{n ( n + 1 ) ( n ^{2} - 5 n + 5 )}{2 ^{n}}$ 、 $P (n) = - (n + 1) (n - 2) (n^{2} - 7 n + 1)$

$b_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2 ^{n - 1}} d_{n}$ 。差は通分して $2^{n + 1}$ にそろえる。

$d_{n}$ の定義から

b_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2 ^{n - 1}} d_{n} = \frac{n ( n + 1 ) ( n ^{2} - 5 n + 5 )}{2 ^{n}}

である。 $n$ を $n + 1$ にすると $(n + 1)^{2} - 5 (n + 1) + 5 = n^{2} - 3 n + 1$ なので

b_{n + 1} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n ^{2} - 3 n + 1 )}{2 ^{n + 1}}, b_{n} = \frac{2 n ( n + 1 ) ( n ^{2} - 5 n + 5 )}{2 ^{n + 1}}

である。差をとると

P (n) = (n + 1) {(n + 2) (n^{2} - 3 n + 1) - 2 n (n^{2} - 5 n + 5)}

である。中かっこを展開すると

(n^{3} - n^{2} - 5 n + 2) - (2 n^{3} - 10 n^{2} + 10 n) = - n^{3} + 9 n^{2} - 15 n + 2

である。 $n = 2$ を入れると $0$ になるので $n - 2$ で割り切れて $- n^{3} + 9 n^{2} - 15 n + 2 = - (n - 2) (n^{2} - 7 n + 1)$ である。よって

P (n) = - (n + 1) (n - 2) (n^{2} - 7 n + 1)

である。

$n = 1$ から $10$ まで $b_{n + 1} - b_{n}$ と $\frac{P ( n )}{2 ^{n + 1}}$ が分数のまま一致した。

(v) $b_{n}$ が最大になる自然数 $n$ を求める

答 $n = 7$

$b_{n + 1} - b_{n}$ の符号は $P (n)$ の符号。3つの因数の符号を追う。

$2^{n + 1} > 0$ なので $b_{n + 1} - b_{n}$ の符号は $P (n) = - (n + 1) (n - 2) (n^{2} - 7 n + 1)$ の符号である。自然数 $n$ では $n + 1 > 0$ である。

$n^{2} - 7 n + 1 = 0$ の解は $\frac{7 \pm 45}{2} = 0.14 \dots, 6.85 \dots$ なので、 $1 ≦ n ≦ 6$ で負、 $n ≧ 7$ で正である。

$n = 1$ ： $(n - 2) < 0$ 、 $(n^{2} - 7 n + 1) < 0$ なので $P < 0$ 。 $b_{2} < b_{1}$
$n = 2$ ： $P = 0$ なので $b_{3} = b_{2}$
$3 ≦ n ≦ 6$ ： $(n - 2) > 0$ 、 $(n^{2} - 7 n + 1) < 0$ なので $P > 0$ 。増加
$n ≧ 7$ ： $(n - 2) > 0$ 、 $(n^{2} - 7 n + 1) > 0$ なので $P < 0$ 。減少

よって $b_{1} > b_{2} = b_{3}$ でいったん下がり、 $b_{3} < b_{4} < \dots < b_{7}$ と上がって、 $b_{7} > b_{8} > \dots$ と下がる。最大の候補は $b_{1}$ と $b_{7}$ だが

b_{1} = 1, b_{7} = \frac{7 \cdot 8 \cdot ( 49 - 35 + 5 )}{2 ^{7}} = \frac{56 \cdot 19}{128} = \frac{133}{16} = 8.3125

なので $b_{7}$ のほうが大きい。したがって $b_{n}$ が最大になるのは

n = 7

のときである。

$b_{n}$ は単調ではなく、いったん負になってから増える。だから「増加から減少に変わる点」だけ見て終わりにせず、最初の $b_{1}$ とも比べる必要がある。

$b_{1}$ から $b_{11}$ を分数で計算すると $1, - 1.5, - 1.5, 1.25, 4.6875, 7.21875, 8.3125, 8.15625, 7.207, 5.908, 4.576$ で、最大は $n = 7$ だった。

$n = 2$ で $P = 0$ （ $b_{3} = b_{2}$ ）になるのを見落とさない。符号が $-, 0, +, \dots, +, -$ と変わる。

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問題文について

(i)−2π​<x<2π​ で f(x)=cos2x1​−16sin2x とする。0<x<2π​ での f(x)=0 の解 α,β（α<β）を求める

(ii)tanα, tanβ の値を求める

(iii)−2π​<x<2π​ における f′(x)=0 の解をすべて求める

(iv)−2π​<x<2π​ における f(x) の極値をすべて求める

(v)0<x<2π​ で曲線 y=f(x) と x 軸で囲まれた領域 D の面積 S を求める

(i)f(x)=ex6−ex​、g(x)=22​e2x​ とする。6−ex≧0 となる範囲 x≦x0​ の x0​ を求め、C1​:y=f(x) と C2​:y=g(x) の共有点をすべて求める

(ii)x<x0​ で f′(x) を求め、f(x) の極値を求める

(iii)不定積分 I=∫ex6−ex​dx を求める

(iv)C1​ と C2​ で囲まれた領域 D の面積 S を求める

(v)D を x 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 V を求める

(i)D:x2+4y2​≦1 を P(x,y) が動くとき、x+2​y の最大値とそのときの x,y を求める

(ii)P(x,y) が D を動くとき、x−3y​ の最大値とそのときの x,y を求める

(iii)円 Ca​:(x−a)2+y2=(a+1)2（a=−1）と楕円 E が点 A(−1,0) と異なる共有点をもつとき、その共有点の x 座標 x0​ を a で表す

(iv)円 Ca​ と楕円 E が点 A(−1,0) と異なる共有点をもつような a の範囲を求める

(i)a1​=1、2nan+1​−(n+2)an​=0 とする。cn​=n(n+1)an​​ とおくとき cn+1​ を cn​ で表し、{an​} の一般項を求める

(ii)b1​=1、n+12n​bn+1​−n+1n+2​bn​=2n−1n(n2−4)​ のとき、b2​,b3​,b4​ を求める

(iii)dn​=n(n+1)2n−1​bn​ とおくとき dn+1​ を dn​ で表し、{dn​} の一般項を求める

(iv){bn​} の一般項を求め、bn+1​−bn​=2n+1P(n)​ をみたす n の整式 P(n) を求める

(v)bn​ が最大になる自然数 n を求める

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(ii) $tan α, tan β$ の値を求める

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