独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問2問・無料

北海道大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理系

北大理系 2025年度数学第5問（場合の数・整数）の解答・解説

北海道大学（北大理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理系入試の数学第5問（分野：場合の数・整数）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解・別解です。本問では「大小関係のある整数の組・組合せ・三角形の成立条件と不等式評価」を扱います。

出題テーマ：大小関係のある整数の組・組合せ・三角形の成立条件と不等式評価当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1) $n ≧ 3$ とし、整数 $k$ に対して $k < a < b < c ≦ k + n$ を満たす整数 $a, b, c$ の選び方の総数を求める

答 $\frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6}$ （または $_{n} C_{3}$ ）

$k + 1$ から $k + n$ までの $n$ 個の整数から異なる3個を選べば、大小順に $a, b, c$ がただ1通りに決まる。

条件 $k < a < b < c ≦ k + n$ を満たす整数 $a, b, c$ は、 $n$ 個の整数

k + 1, k + 2, \dots, k + n

の中から異なる3個を選び、小さい順に $a, b, c$ とおくことで1対1に対応する。よって求める総数は

_{n} C_{3} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6}

である。

$n = 3$ のとき $(k + 1, k + 2, k + 3)$ の1通りで、式も $\frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{6} = 1$ 。

(2) $1 ≦ a < b < c ≦ 2 n$ を満たす整数 $a, b, c$ のうち $a + b > c$ となる組の総数を $L$ とするとき、 $L >_{n} C_{3}$ を示す

答後半の区間 $n < a < b < c ≦ 2 n$ の組（ $_{n} C_{3}$ 個）はすべて $a + b > c$ を満たし、さらに $(a, b, c) = (2, n, n + 1)$ なども条件を満たすから $L ≧_{n} C_{3} + 1 >_{n} C_{3}$

(1) で $k = n$ とした $n < a < b < c ≦ 2 n$ の組がすべて $a + b > c$ を満たすことに着目し、それ以外の組を1つ挙げる。

(1) において $k = n$ とすると、 $n < a < b < c ≦ 2 n$ を満たす整数 $a, b, c$ の組はちょうど $_{n} C_{3}$ 個ある。

これらの組はすべて $1 ≦ a < b < c ≦ 2 n$ を満たし、しかも $a ≧ n + 1, b ≧ n + 2, c ≦ 2 n$ であるから

a + b ≧ (n + 1) + (n + 2) = 2 n + 3 > 2 n ≧ c

となり、すべて $a + b > c$ を満たす。

さらに、 $n ≧ 3$ より $(a, b, c) = (2, n, n + 1)$ をとると、 $1 ≦ 2 < n < n + 1 ≦ 2 n$ かつ

a + b = n + 2 > n + 1 = c

を満たすが、 $a = 2 ≦ n$ だから上の $_{n} C_{3}$ 個の組には含まれない。したがって

L ≧_{n} C_{3} + 1 >_{n} C_{3}

が成り立つ。 $■$

$n = 3$ のとき $L = 7$ 、 $_{3} C_{3} = 1$ で $7 > 1$ 。

$L$ の正確な値を無理に和の計算で出そうとすると場合分けで時間を失いやすい。(1) が「 $k = n$ として後半の $n$ 個から3個選べ」という誘導になっていることに気づけば数行で終わる。

▸ 別解：

L

を

n

の式で直接求める別解

$c$ を固定したとき、 $1 ≦ a < b < c$ かつ $a > c - b$ すなわち $c - b + 1 ≦ a ≦ b - 1$ を満たす $a$ の個数は、 $b > \frac{c}{2}$ のとき $2 b - 1 - c$ 個である。したがって $c = 2 m$ （偶数）のとき $b = m + 1 \sum 2 m - 1 (2 b - 1 - 2 m) = (m - 1)^{2}$ 個、 $c = 2 m + 1$ （奇数）のとき $b = m + 1 \sum 2 m (2 b - 2 - 2 m) = m (m - 1)$ 個となり、 $c = 3, \dots, 2 n$ で和をとると

L = k = 1 \sum n - 1 k^{2} + k = 1 \sum n - 1 k (k - 1) = \frac{n ( n - 1 ) ( 4 n - 5 )}{6} =_{n} C_{3} + \frac{n ( n - 1 ) ^{2}}{2}

となる。 $n ≧ 3$ より $\frac{n ( n - 1 ) ^{2}}{2} > 0$ だから $L >_{n} C_{3}$ である。

2025年度の全5問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

第5問（場合の数・整数）を解き終えた方へ

北大理系数学の「場合の数・整数」と本番形式を、さらに演習する

北大理系数学の出題分析（2019〜2026年度（8年分））では、「確率・場合の数」が7題（全40題中）出題されています。この大問で扱った大小関係のある整数の組・組合せ・三角形の成立条件と不等式評価のような論証・計算を、本番の試験時間（120分）で書き切る練習が得点源に直結します。

同じ分野・テーマの他大学過去問で類題演習する（無料解説）

本番形式の予想問題集（採点基準・別解つき）

合格答案をつくる北大理系数学 2027

北大理系数学の出題傾向と頻出分野を分析して書き下ろした予想問題集です（過去問の転載ではありません）。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る公式書店で見る無料サンプルPDF（4ページ）全2巻・収録内容を見る

¥2,695・128ページ・2026年8月2日発売

この問題が難しかった方へ（過去問の前に）

過去問の前に北大理系数学分野別完成演習

第1章「場合の数と確率」（5題・目標計120分）をはじめ、北大理系頻出の7分野・全26題を「標準→やや難→本番接続」の3段階で固められます。

Amazonで見る公式書店で見る収録分野と章立てを見る

『合格答案をつくる北大理系数学 2027』の中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。印刷して解きたい方はPDF版をご利用ください。

無料サンプルPDF（4ページ）を開く公式書店で詳細を見る

北大理系数学の関連メニュー

北大理系数学の傾向と対策（総合案内ページ）— 年度別・分野別の出題分析、目標点、段階別対策を1ページで確認できます。
北大理系数学の過去問解説一覧— 他の年度の解答・解説をまとめて読む。
数学記述模試『入試プレビュー』（PDF即ダウンロード）— 問題・解答解説・採点基準つきPDFをその場で入手して実戦演習できます。