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全5問・無料

北海道大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理系

北大理系 2025年度数学の解答・解説

北海道大学（北大理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理系入試の数学全5問（第1問：数列・対数、第2問：図形と方程式、第3問：微分積分、第4問：複素数平面、第5問：場合の数・整数）について、当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を大問ごとに掲載しています。

最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　数列・対数

等比数列の一般項・底の変換公式・恒等式の条件・常用対数と桁数当サイトの体感難易度：標準

(1) $α > 1, r > 1$ 、初項 $a_{1} = α$ ・公比 $r$ の等比数列 ${a_{n}}$ に対し、 $b_{n} = lo g_{a_{n}} (a_{n + 1})$ を $n$ と $lo g_{α} r$ で表す

答 $b_{n} = \frac{1 + n lo g _{α} r}{1 + ( n - 1 ) lo g _{α} r}$

$a_{n} = α r^{n - 1}$ を書き下し、底を $α$ にそろえる。

数列 ${a_{n}}$ は初項 $α$ 、公比 $r$ の等比数列だから

a_{n} = α r^{n - 1}, a_{n + 1} = α r^{n}

である。 $α > 1, r > 1$ より $a_{n} ≧ α > 1$ なので $lo g_{a_{n}} (a_{n + 1})$ は定義され、底を $α$ に変換すると

b_{n} = \frac{lo g _{α} ( α r ^{n} )}{lo g _{α} ( α r ^{n - 1} )} = \frac{1 + n lo g _{α} r}{1 + ( n - 1 ) lo g _{α} r}

となる。

$n = 1$ のとき $b_{1} = lo g_{α} (α r) = 1 + lo g_{α} r$ で、式の分母が $1$ となって一致する。

$a_{n} = α r^{n}$ と指数を1つずらさないよう、 $n = 1$ で $a_{1} = α$ に戻ることを確認する。

(2) $b_{n} = \frac{n + 2}{n + 1}$ がすべての自然数 $n$ で成り立つための必要十分条件を $r$ と $α$ で表す

答 $α = r^{2}$ （または $r = α$ ）

$L = lo g_{α} r$ とおいて分母を払い、 $L$ を求める。

$L = lo g_{α} r$ とおく。 $α > 1, r > 1$ より $L > 0$ であり、 $1 + (n - 1) L > 0$ である。(1) より

\frac{1 + n L}{1 + ( n - 1 ) L} = \frac{n + 2}{n + 1}

分母を払って整理すると

(n + 1) (1 + n L) n + 1 + (n^{2} + n) L 2 L = (n + 2) {1 + (n - 1) L} = n + 2 + (n^{2} + n - 2) L = 1

となる。この変形はすべての自然数 $n$ で同値であり、 $L = \frac{1}{2}$ すなわち

lo g_{α} r = \frac{1}{2} ⟺ α = r^{2} (または r = α)

が必要十分条件である。

$L = \frac{1}{2}$ を (1) の式に戻すと $\frac{1 + n /2}{1 + ( n - 1 ) /2} = \frac{n + 2}{n + 1}$ となり、すべての自然数 $n$ で成り立つ。

$n = 1$ を代入して必要条件 $L = \frac{1}{2}$ を出した場合は、逆に $L = \frac{1}{2}$ のときすべての自然数 $n$ で $b_{n} = \frac{n + 2}{n + 1}$ となること（十分性）を必ず確認する。

(3)(2) のとき、積 $a_{1} a_{2}, a_{1} a_{2} a_{3}, a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}$ の整数部分がそれぞれ2桁、3桁、4桁になるような $α$ の範囲を求める

答 $1 0^{\frac{4}{9}} ≦ α < 1 0^{\frac{4}{7}}$

$a_{k} = α^{\frac{k + 1}{2}}$ から各積を $α$ の累乗で表し、 $1 0^{m - 1} ≦ X < 1 0^{m}$ に当てはめる。

(2) より $r = α^{\frac{1}{2}}$ なので、一般項は $a_{k} = α \cdot (α^{\frac{1}{2}})^{k - 1} = α^{\frac{k + 1}{2}}$ である。したがって

a_{1} a_{2} a_{1} a_{2} a_{3} a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} = α^{1 + \frac{3}{2}} = α^{\frac{5}{2}}, = α^{\frac{5}{2} + 2} = α^{\frac{9}{2}}, = α^{\frac{9}{2} + \frac{5}{2}} = α^{7}

である。正の実数 $X$ の整数部分が $m$ 桁である条件は $1 0^{m - 1} ≦ X < 1 0^{m}$ だから、3つの条件は

⎩ ⎨ ⎧ 1 0^{1} ≦ α^{\frac{5}{2}} < 1 0^{2} 1 0^{2} ≦ α^{\frac{9}{2}} < 1 0^{3} 1 0^{3} ≦ α^{7} < 1 0^{4} ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ 1 0^{\frac{2}{5}} ≦ α < 1 0^{\frac{4}{5}} 1 0^{\frac{4}{9}} ≦ α < 1 0^{\frac{2}{3}} 1 0^{\frac{3}{7}} ≦ α < 1 0^{\frac{4}{7}}

となる。指数の大小を比べると

\frac{2}{5} = \frac{14}{35} < \frac{3}{7} = \frac{15}{35} = \frac{27}{63} < \frac{4}{9} = \frac{28}{63}

\frac{4}{7} = \frac{12}{21} < \frac{2}{3} = \frac{14}{21} < \frac{4}{5}

であり、底 $10$ は $1$ より大きいから、共通範囲をとって

1 0^{\frac{4}{9}} ≦ α < 1 0^{\frac{4}{7}}

を得る（ $α > 1$ も満たしている）。

$1 0^{4/9} \approx 2.7826$ 、 $1 0^{4/7} \approx 3.7276$ 。 $α = 3$ のとき $a_{1} a_{2} = 3^{2.5} \approx 15.59$ （2桁）、 $a_{1} a_{2} a_{3} = 3^{4.5} \approx 140.3$ （3桁）、 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} = 3^{7} = 2187$ （4桁）で条件を満たす。

「整数部分が $m$ 桁」は $1 0^{m - 1} ≦ X < 1 0^{m}$ であり、左側は等号を含み右側は含まない。

第1問だけのページ

第2問　図形と方程式

円への2接線・直角三角形と四角形の面積・楕円上の点の媒介変数・消去・2次関数の最大最小当サイトの体感難易度：標準

(1)点 $P (p, q)$ （ $p^{2} + q^{2} > 1$ ）から単位円 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ に引いた2本の接線の接点を $Q_{1}, Q_{2}$ とするとき、四角形 $OQ_{1} PQ_{2}$ の面積 $S$ を $p, q$ で表す

答 $S = p^{2} + q^{2} - 1$

接線と半径は直交するので、 $△ OQ_{1} P$ と $△ OQ_{2} P$ は合同な直角三角形である。

円の接線は接点を通る半径に垂直だから、 $∠ OQ_{1} P = ∠ OQ_{2} P = \frac{π}{2}$ である。また $OQ_{1} = OQ_{2} = 1$ 、斜辺 $OP = p^{2} + q^{2}$ は共通なので、直角三角形 $△ OQ_{1} P$ と $△ OQ_{2} P$ は合同である。

三平方の定理より

PQ_{1} = PQ_{2} = OP^{2} - OQ_{1}^{2} = p^{2} + q^{2} - 1

であるから、四角形 $OQ_{1} PQ_{2}$ の面積 $S$ は

S = 2 \cdot \frac{1}{2} OQ_{1} \cdot PQ_{1} = p^{2} + q^{2} - 1

である。

$P (2, 0)$ のとき接点は $(\frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2})$ で四角形は一辺 $1$ の正方形となり、面積は $1 = 2 + 0 - 1$ で一致する。

接点の座標 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ を $p, q$ で具体的に解いてから面積を出そうとすると計算が膨らむ。半径と接線の直交だけで即座に求まる。

(2)点 $P$ が楕円 $C_{2} : \frac{x ^{2}}{2} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$ 上を動くとき、 $S$ の最大値と最小値を求める

答最大値 $2$ 、最小値 $1$

楕円の式から $p^{2} = 2 (1 - \frac{q ^{2}}{3})$ を代入して、根号の中身を $q^{2}$ の1次式にする。

点 $P (p, q)$ が楕円 $C_{2}$ 上にあるとき

\frac{p ^{2}}{2} + \frac{q ^{2}}{3} = 1 ⟺ p^{2} = 2 (1 - \frac{q ^{2}}{3}) ≧ 0

である。 $p^{2} ≧ 0$ より $0 ≦ q^{2} ≦ 3$ の範囲を動く。このとき

p^{2} + q^{2} - 1 = 2 - \frac{2}{3} q^{2} + q^{2} - 1 = 1 + \frac{q ^{2}}{3}

であり、つねに $p^{2} + q^{2} > 1$ を満たす。 $0 ≦ q^{2} ≦ 3$ だから

1 ≦ 1 + \frac{q ^{2}}{3} ≦ 2 ⟹ 1 ≦ S ≦ 2

となる。よって $S$ は

$q = \pm 3$ （ $p = 0$ ）のとき最大値 $2$
$q = 0$ （ $p = \pm 2$ ）のとき最小値 $1$

をとる。

単位円

C_{1}

と楕円

C_{2} : x^{2} /2 + y^{2} /3 = 1

。面積

S = OP^{2} - 1

は

OP

が最大の

(0, \pm 3)

で最大値

2

、

OP

が最小の

(\pm 2, 0)

で最小値

1

をとる。

$S = OP^{2} - 1$ は原点からの距離 $OP$ の単調増加関数であり、長軸端 $(0, \pm 3)$ で最大、短軸端 $(\pm 2, 0)$ で最小となることと整合する。

$p^{2}$ を消去したとき、残る変数 $q$ の動く範囲 $0 ≦ q^{2} ≦ 3$ を明記する。

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第3問　微分積分

指数関数と三角関数の定積分・部分積分2回・数列の極限当サイトの体感難易度：標準

(1)実数 $a$ と自然数 $n$ に対して $I (a, n) = \int_{0}^{2 π} e^{a x} sin (n x) d x$ を求める

答 $I (a, n) = - \frac{n ( e ^{2 π a} - 1 )}{a ^{2} + n ^{2}}$

部分積分を2回行うか、 ${e^{a x} (a sin n x - n cos n x)}^{'} = (a^{2} + n^{2}) e^{a x} sin n x$ を使う。

$sin (n x) = - \frac{1}{n} (cos n x)^{'}$ を用いて部分積分すると

I (a, n) = [- \frac{1}{n} e^{a x} cos (n x)]_{0}^{2 π} + \frac{a}{n} \int_{0}^{2 π} e^{a x} cos (n x) d x = - \frac{e ^{2 π a} - 1}{n} + \frac{a}{n} {[\frac{1}{n} e^{a x} sin (n x)]_{0}^{2 π} - \frac{a}{n} \int_{0}^{2 π} e^{a x} sin (n x) d x} = - \frac{e ^{2 π a} - 1}{n} - \frac{a ^{2}}{n ^{2}} I (a, n)

となる（ $n$ は自然数だから $sin (2 π n) = sin 0 = 0, cos (2 π n) = cos 0 = 1$ ）。移行して整理すると

(1 + \frac{a ^{2}}{n ^{2}}) I (a, n) = - \frac{e ^{2 π a} - 1}{n} ⟺ I (a, n) = - \frac{n ( e ^{2 π a} - 1 )}{a ^{2} + n ^{2}}

である（ $a = 0$ のときも $I (0, n) = 0$ で成り立つ）。

$a = 0$ を代入すると $0$ になり、 $\int_{0}^{2 π} sin (n x) d x = 0$ と一致する。

$- (cos n x)^{'} = n sin n x$ の符号を取り違えると答えのマイナスが抜ける。 $a > 0$ のとき後半の負の山のほうが指数関数で大きくなるため $I (a, n) < 0$ になる。

▸ 別解：原始関数を直接用いる方法

${\frac{e ^{a x}}{a ^{2} + n ^{2}} (a sin n x - n cos n x)}^{'} = e^{a x} sin (n x)$ であるから、両端 $x = 0, 2 π$ を代入して直ちに $I (a, n) = - \frac{n ( e ^{2 π a} - 1 )}{a ^{2} + n ^{2}}$ を得る。

(2) $a_{n} = \frac{lo g n}{2 π}$ のとき、極限 $n \to \infty lim I (a_{n}, n)$ を求める

答 $- 1$

$e^{2 π a_{n}} = n$ を代入し、分母・分子を $n^{2}$ で割る。

$2 π a_{n} = lo g n$ だから $e^{2 π a_{n}} = e^{l o g n} = n$ である。これを (1) の結果に代入すると

I (a_{n}, n) = - \frac{n ( n - 1 )}{a _{n}^{2} + n ^{2}} = - \frac{1 - \frac{1}{n}}{( \frac{a _{n}}{n} ) ^{2} + 1}

となる。ここで $\frac{a _{n}}{n} = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{lo g n}{n}$ であり、 $n \to \infty lim \frac{lo g n}{n} = 0$ から $n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n} = 0$ である。したがって

n \to \infty lim I (a_{n}, n) = - \frac{1 - 0}{0 ^{2} + 1} = - 1

である。

$n \to \infty$ で分子は $- n^{2} + n$ 、分母は $n^{2} + (lo g n /2 π)^{2}$ なので最高次係数の比 $- 1$ に収束する。

$e^{2 π a_{n}} = n$ を見落とすと極限計算ができない。指数の肩に $2 π$ が掛かって $lo g n$ に戻る仕組みになっている。

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第4問　複素数平面

アポロニウスの円・複素数の絶対値と共役・2円の共有点条件・a=1の特別扱い当サイトの体感難易度：標準

(1) $a > 0, a \neq = 1$ のとき、 $a ∣ z - 1∣ = ∣ (a - 2) z + a ∣$ を満たす複素数 $z$ 全体の集合を複素数平面上に図示する

答点 $\frac{a}{2}$ を中心とする半径 $\frac{a}{2}$ の円

両辺を2乗して $∣ w ∣^{2} = w \overline{w}$ で展開し、 $a \neq = 1$ を用いて $4 (a - 1)$ で割る。

両辺とも0以上だから、2乗しても同値である。 $∣ w ∣^{2} = w \overline{w}$ を用いて展開すると

a^{2} ∣ z - 1 ∣^{2} a^{2} (∣ z ∣^{2} - z - \overline{z} + 1) = ∣ (a - 2) z + a ∣^{2} = (a - 2)^{2} ∣ z ∣^{2} + a (a - 2) (z + \overline{z}) + a^{2}

右辺の項を左辺へ移して整理すると

4 (a - 1) ∣ z ∣^{2} - 2 a (a - 1) (z + \overline{z}) = 0

となる。 $a \neq = 1$ より $4 (a - 1) \neq = 0$ で割ることができ

∣ z ∣^{2} - \frac{a}{2} (z + \overline{z}) = 0 ⟺ z - \frac{a}{2}^{2} = (\frac{a}{2})^{2}

すなわち（ $a > 0$ より）

z - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}

となる。よって求める集合は、点 $\frac{a}{2}$ を中心とする半径 $\frac{a}{2}$ の円（原点 $0$ と実軸上の点 $a$ を直径の両端とする円）である。

a \neq = 1

のとき方程式が表す円

∣ z - a /2∣ = a /2

（実軸上の

0

と

a

を直径の両端とする円）。破線の円は (2) の

∣ z ∣ = 6 - a

（図は

a = 3

の場合）。

$z = 0$ を代入すると $a ∣ - 1∣ = ∣ a ∣$ 、 $z = a$ を代入すると $a ∣ a - 1∣ = ∣ (a - 1) a ∣$ でどちらも成り立ち、直径の両端 $0, a$ を通る。

$a = 2$ のときは右辺が $∣ a ∣ = 2$ となり、最初から $2∣ z - 1∣ = 2 ⟺ ∣ z - 1∣ = 1$ で公式 $z - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$ に含まれる。場合分けは不要。

(2) $∣ z ∣^{2} = 6 - a$ と $a ∣ z - 1∣ = ∣ (a - 2) z + a ∣$ をともに満たす複素数 $z$ が存在するような正の実数 $a$ の範囲を求める

答 $a = 1, 2 ≦ a ≦ 6$

$a = 1$ の場合を先に調べ、 $a \neq = 1$ のときは円 $z - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$ 上の点の $∣ z ∣$ の取りうる値の範囲が $[0, a]$ であることを使う。

まず $∣ z ∣^{2} = 6 - a ≧ 0$ が必要だから、 $0 < a ≦ 6$ の範囲で考える。

[1] $a = 1$ のとき。第2式は $∣ z - 1∣ = ∣ - z + 1∣ = ∣ z - 1∣$ となり、すべての複素数 $z$ について成り立つ。このとき第1式 $∣ z ∣^{2} = 5$ を満たす複素数 $z$ （たとえば $z = 5$ ）は確かに存在する。よって $a = 1$ は適する。

[2] $a \neq = 1$ （かつ $0 < a ≦ 6$ ）のとき。(1) より第2式は円 $z - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$ を表す。この円は原点 $0$ を通り、原点から最も遠い点は $z = a$ （距離 $a$ ）だから、この円上の点 $z$ について $∣ z ∣$ は $0 ≦ ∣ z ∣ ≦ a$ のすべての値をとる（または $∣ z ∣^{2} = a Re (z)$ で $0 ≦ Re (z) ≦ a$ と見てもよい）。

したがって、 $∣ z ∣^{2} = 6 - a$ と共有点をもつための必要十分条件は

0 ≦ 6 - a ≦ a^{2} ⟺ a^{2} + a - 6 ≧ 0 ⟺ (a + 3) (a - 2) ≧ 0

である。 $0 < a ≦ 6$ かつ $a \neq = 1$ と合わせて $2 ≦ a ≦ 6$ を得る。

[1], [2] を合わせて、求める $a$ の範囲は

a = 1, 2 ≦ a ≦ 6

である。

$a = 2$ のとき $z = 2$ が $∣ z ∣^{2} = 4 = 6 - 2$ と $∣ z - 1∣ = 1$ を満たし、 $a = 6$ のとき $z = 0$ が $∣ z ∣^{2} = 0$ と $6∣ - 1∣ = ∣6∣$ を満たす。

$a = 1$ の見落としが最大の落とし穴。(1) で「 $a$ が $1$ でないとき」と断ってあったため、(2) でも無意識に $a \neq = 1$ と決めつけると $a = 1$ を落とす。

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第5問　場合の数・整数

大小関係のある整数の組・組合せ・三角形の成立条件と不等式評価当サイトの体感難易度：標準

(1) $n ≧ 3$ とし、整数 $k$ に対して $k < a < b < c ≦ k + n$ を満たす整数 $a, b, c$ の選び方の総数を求める

答 $\frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6}$ （または $_{n} C_{3}$ ）

$k + 1$ から $k + n$ までの $n$ 個の整数から異なる3個を選べば、大小順に $a, b, c$ がただ1通りに決まる。

条件 $k < a < b < c ≦ k + n$ を満たす整数 $a, b, c$ は、 $n$ 個の整数

k + 1, k + 2, \dots, k + n

の中から異なる3個を選び、小さい順に $a, b, c$ とおくことで1対1に対応する。よって求める総数は

_{n} C_{3} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6}

である。

$n = 3$ のとき $(k + 1, k + 2, k + 3)$ の1通りで、式も $\frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{6} = 1$ 。

(2) $1 ≦ a < b < c ≦ 2 n$ を満たす整数 $a, b, c$ のうち $a + b > c$ となる組の総数を $L$ とするとき、 $L >_{n} C_{3}$ を示す

答後半の区間 $n < a < b < c ≦ 2 n$ の組（ $_{n} C_{3}$ 個）はすべて $a + b > c$ を満たし、さらに $(a, b, c) = (2, n, n + 1)$ なども条件を満たすから $L ≧_{n} C_{3} + 1 >_{n} C_{3}$

(1) で $k = n$ とした $n < a < b < c ≦ 2 n$ の組がすべて $a + b > c$ を満たすことに着目し、それ以外の組を1つ挙げる。

(1) において $k = n$ とすると、 $n < a < b < c ≦ 2 n$ を満たす整数 $a, b, c$ の組はちょうど $_{n} C_{3}$ 個ある。

これらの組はすべて $1 ≦ a < b < c ≦ 2 n$ を満たし、しかも $a ≧ n + 1, b ≧ n + 2, c ≦ 2 n$ であるから

a + b ≧ (n + 1) + (n + 2) = 2 n + 3 > 2 n ≧ c

となり、すべて $a + b > c$ を満たす。

さらに、 $n ≧ 3$ より $(a, b, c) = (2, n, n + 1)$ をとると、 $1 ≦ 2 < n < n + 1 ≦ 2 n$ かつ

a + b = n + 2 > n + 1 = c

を満たすが、 $a = 2 ≦ n$ だから上の $_{n} C_{3}$ 個の組には含まれない。したがって

L ≧_{n} C_{3} + 1 >_{n} C_{3}

が成り立つ。 $■$

$n = 3$ のとき $L = 7$ 、 $_{3} C_{3} = 1$ で $7 > 1$ 。

$L$ の正確な値を無理に和の計算で出そうとすると場合分けで時間を失いやすい。(1) が「 $k = n$ として後半の $n$ 個から3個選べ」という誘導になっていることに気づけば数行で終わる。

▸ 別解：

L

を

n

の式で直接求める別解

$c$ を固定したとき、 $1 ≦ a < b < c$ かつ $a > c - b$ すなわち $c - b + 1 ≦ a ≦ b - 1$ を満たす $a$ の個数は、 $b > \frac{c}{2}$ のとき $2 b - 1 - c$ 個である。したがって $c = 2 m$ （偶数）のとき $b = m + 1 \sum 2 m - 1 (2 b - 1 - 2 m) = (m - 1)^{2}$ 個、 $c = 2 m + 1$ （奇数）のとき $b = m + 1 \sum 2 m (2 b - 2 - 2 m) = m (m - 1)$ 個となり、 $c = 3, \dots, 2 n$ で和をとると

L = k = 1 \sum n - 1 k^{2} + k = 1 \sum n - 1 k (k - 1) = \frac{n ( n - 1 ) ( 4 n - 5 )}{6} =_{n} C_{3} + \frac{n ( n - 1 ) ^{2}}{2}

となる。 $n ≧ 3$ より $\frac{n ( n - 1 ) ^{2}}{2} > 0$ だから $L >_{n} C_{3}$ である。

第5問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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問題文について

(1)α>1, r>1、初項 a1​=α・公比 r の等比数列 {an​} に対し、bn​=logan​​(an+1​) を n と logα​r で表す

(2)bn​=n+1n+2​ がすべての自然数 n で成り立つための必要十分条件を r と α で表す

(3)(2) のとき、積 a1​a2​, a1​a2​a3​, a1​a2​a3​a4​ の整数部分がそれぞれ2桁、3桁、4桁になるような α の範囲を求める

(1)点 P(p,q)（p2+q2>1）から単位円 C1​:x2+y2=1 に引いた2本の接線の接点を Q1​,Q2​ とするとき、四角形 OQ1​PQ2​ の面積 S を p,q で表す

(2)点 P が楕円 C2​:2x2​+3y2​=1 上を動くとき、S の最大値と最小値を求める

(1)実数 a と自然数 n に対して I(a,n)=∫02π​eaxsin(nx)dx を求める

(2)an​=2πlogn​ のとき、極限 n→∞lim​I(an​,n) を求める

(1)a>0, a=1 のとき、a∣z−1∣=∣(a−2)z+a∣ を満たす複素数 z 全体の集合を複素数平面上に図示する

(2)∣z∣2=6−a と a∣z−1∣=∣(a−2)z+a∣ をともに満たす複素数 z が存在するような正の実数 a の範囲を求める

(1)n≧3 とし、整数 k に対して k<a<b<c≦k+n を満たす整数 a,b,c の選び方の総数を求める

(2)1≦a<b<c≦2n を満たす整数 a,b,c のうち a+b>c となる組の総数を L とするとき、L>n​C3​ を示す

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(1) $α > 1, r > 1$ 、初項 $a_{1} = α$ ・公比 $r$ の等比数列 ${a_{n}}$ に対し、 $b_{n} = lo g_{a_{n}} (a_{n + 1})$ を $n$ と $lo g_{α} r$ で表す

(2) $b_{n} = \frac{n + 2}{n + 1}$ がすべての自然数 $n$ で成り立つための必要十分条件を $r$ と $α$ で表す

(3)(2) のとき、積 $a_{1} a_{2}, a_{1} a_{2} a_{3}, a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}$ の整数部分がそれぞれ2桁、3桁、4桁になるような $α$ の範囲を求める

(1)点 $P (p, q)$ （ $p^{2} + q^{2} > 1$ ）から単位円 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ に引いた2本の接線の接点を $Q_{1}, Q_{2}$ とするとき、四角形 $OQ_{1} PQ_{2}$ の面積 $S$ を $p, q$ で表す

(2)点 $P$ が楕円 $C_{2} : \frac{x ^{2}}{2} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$ 上を動くとき、 $S$ の最大値と最小値を求める

(1)実数 $a$ と自然数 $n$ に対して $I (a, n) = \int_{0}^{2 π} e^{a x} sin (n x) d x$ を求める

(2) $a_{n} = \frac{lo g n}{2 π}$ のとき、極限 $n \to \infty lim I (a_{n}, n)$ を求める

(1) $a > 0, a \neq = 1$ のとき、 $a ∣ z - 1∣ = ∣ (a - 2) z + a ∣$ を満たす複素数 $z$ 全体の集合を複素数平面上に図示する

(2) $∣ z ∣^{2} = 6 - a$ と $a ∣ z - 1∣ = ∣ (a - 2) z + a ∣$ をともに満たす複素数 $z$ が存在するような正の実数 $a$ の範囲を求める

(1) $n ≧ 3$ とし、整数 $k$ に対して $k < a < b < c ≦ k + n$ を満たす整数 $a, b, c$ の選び方の総数を求める

(2) $1 ≦ a < b < c ≦ 2 n$ を満たす整数 $a, b, c$ のうち $a + b > c$ となる組の総数を $L$ とするとき、 $L >_{n} C_{3}$ を示す

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