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北海道大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理系

北大理系 2025年度数学第1問（数列・対数）の解答・解説

北海道大学（北大理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理系入試の数学第1問（分野：数列・対数）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「等比数列の一般項・底の変換公式・恒等式の条件・常用対数と桁数」を扱います。

出題テーマ：等比数列の一般項・底の変換公式・恒等式の条件・常用対数と桁数当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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北大理系 2025年度数学第1問の設問構成・解答方針（全3問）

(1)の解答・解説へ
$α > 1, r > 1$ 、初項 $a_{1} = α$ ・公比 $r$ の等比数列 ${a_{n}}$ に対し、 $b_{n} = lo g_{a_{n}} (a_{n + 1})$ を $n$ と $lo g_{α} r$ で表す
(2)の解答・解説へ
$b_{n} = \frac{n + 2}{n + 1}$ がすべての自然数 $n$ で成り立つための必要十分条件を $r$ と $α$ で表す
(3)の解答・解説へ
(2) のとき、積 $a_{1} a_{2}, a_{1} a_{2} a_{3}, a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}$ の整数部分がそれぞれ2桁、3桁、4桁になるような $α$ の範囲を求める

(1) $α > 1, r > 1$ 、初項 $a_{1} = α$ ・公比 $r$ の等比数列 ${a_{n}}$ に対し、 $b_{n} = lo g_{a_{n}} (a_{n + 1})$ を $n$ と $lo g_{α} r$ で表す

答 $b_{n} = \frac{1 + n lo g _{α} r}{1 + ( n - 1 ) lo g _{α} r}$

$a_{n} = α r^{n - 1}$ を書き下し、底を $α$ にそろえる。

数列 ${a_{n}}$ は初項 $α$ 、公比 $r$ の等比数列だから

a_{n} = α r^{n - 1}, a_{n + 1} = α r^{n}

である。 $α > 1, r > 1$ より $a_{n} ≧ α > 1$ なので $lo g_{a_{n}} (a_{n + 1})$ は定義され、底を $α$ に変換すると

b_{n} = \frac{lo g _{α} ( α r ^{n} )}{lo g _{α} ( α r ^{n - 1} )} = \frac{1 + n lo g _{α} r}{1 + ( n - 1 ) lo g _{α} r}

となる。

$n = 1$ のとき $b_{1} = lo g_{α} (α r) = 1 + lo g_{α} r$ で、式の分母が $1$ となって一致する。

$a_{n} = α r^{n}$ と指数を1つずらさないよう、 $n = 1$ で $a_{1} = α$ に戻ることを確認する。

(2) $b_{n} = \frac{n + 2}{n + 1}$ がすべての自然数 $n$ で成り立つための必要十分条件を $r$ と $α$ で表す

答 $α = r^{2}$ （または $r = α$ ）

$L = lo g_{α} r$ とおいて分母を払い、 $L$ を求める。

$L = lo g_{α} r$ とおく。 $α > 1, r > 1$ より $L > 0$ であり、 $1 + (n - 1) L > 0$ である。(1) より

\frac{1 + n L}{1 + ( n - 1 ) L} = \frac{n + 2}{n + 1}

分母を払って整理すると

(n + 1) (1 + n L) n + 1 + (n^{2} + n) L 2 L = (n + 2) {1 + (n - 1) L} = n + 2 + (n^{2} + n - 2) L = 1

となる。この変形はすべての自然数 $n$ で同値であり、 $L = \frac{1}{2}$ すなわち

lo g_{α} r = \frac{1}{2} ⟺ α = r^{2} (または r = α)

が必要十分条件である。

$L = \frac{1}{2}$ を (1) の式に戻すと $\frac{1 + n /2}{1 + ( n - 1 ) /2} = \frac{n + 2}{n + 1}$ となり、すべての自然数 $n$ で成り立つ。

$n = 1$ を代入して必要条件 $L = \frac{1}{2}$ を出した場合は、逆に $L = \frac{1}{2}$ のときすべての自然数 $n$ で $b_{n} = \frac{n + 2}{n + 1}$ となること（十分性）を必ず確認する。

(3)(2) のとき、積 $a_{1} a_{2}, a_{1} a_{2} a_{3}, a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}$ の整数部分がそれぞれ2桁、3桁、4桁になるような $α$ の範囲を求める

答 $1 0^{\frac{4}{9}} ≦ α < 1 0^{\frac{4}{7}}$

$a_{k} = α^{\frac{k + 1}{2}}$ から各積を $α$ の累乗で表し、 $1 0^{m - 1} ≦ X < 1 0^{m}$ に当てはめる。

(2) より $r = α^{\frac{1}{2}}$ なので、一般項は $a_{k} = α \cdot (α^{\frac{1}{2}})^{k - 1} = α^{\frac{k + 1}{2}}$ である。したがって

a_{1} a_{2} a_{1} a_{2} a_{3} a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} = α^{1 + \frac{3}{2}} = α^{\frac{5}{2}}, = α^{\frac{5}{2} + 2} = α^{\frac{9}{2}}, = α^{\frac{9}{2} + \frac{5}{2}} = α^{7}

である。正の実数 $X$ の整数部分が $m$ 桁である条件は $1 0^{m - 1} ≦ X < 1 0^{m}$ だから、3つの条件は

⎩ ⎨ ⎧ 1 0^{1} ≦ α^{\frac{5}{2}} < 1 0^{2} 1 0^{2} ≦ α^{\frac{9}{2}} < 1 0^{3} 1 0^{3} ≦ α^{7} < 1 0^{4} ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ 1 0^{\frac{2}{5}} ≦ α < 1 0^{\frac{4}{5}} 1 0^{\frac{4}{9}} ≦ α < 1 0^{\frac{2}{3}} 1 0^{\frac{3}{7}} ≦ α < 1 0^{\frac{4}{7}}

となる。指数の大小を比べると

\frac{2}{5} = \frac{14}{35} < \frac{3}{7} = \frac{15}{35} = \frac{27}{63} < \frac{4}{9} = \frac{28}{63}

\frac{4}{7} = \frac{12}{21} < \frac{2}{3} = \frac{14}{21} < \frac{4}{5}

であり、底 $10$ は $1$ より大きいから、共通範囲をとって

1 0^{\frac{4}{9}} ≦ α < 1 0^{\frac{4}{7}}

を得る（ $α > 1$ も満たしている）。

$1 0^{4/9} \approx 2.7826$ 、 $1 0^{4/7} \approx 3.7276$ 。 $α = 3$ のとき $a_{1} a_{2} = 3^{2.5} \approx 15.59$ （2桁）、 $a_{1} a_{2} a_{3} = 3^{4.5} \approx 140.3$ （3桁）、 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} = 3^{7} = 2187$ （4桁）で条件を満たす。

「整数部分が $m$ 桁」は $1 0^{m - 1} ≦ X < 1 0^{m}$ であり、左側は等号を含み右側は含まない。

2025年度の全5問をまとめて読む

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問題文について

(1)α>1, r>1、初項 a1​=α・公比 r の等比数列 {an​} に対し、bn​=logan​​(an+1​) を n と logα​r で表す

(2)bn​=n+1n+2​ がすべての自然数 n で成り立つための必要十分条件を r と α で表す

(3)(2) のとき、積 a1​a2​, a1​a2​a3​, a1​a2​a3​a4​ の整数部分がそれぞれ2桁、3桁、4桁になるような α の範囲を求める