第2問数列の解答・解説

対数をとる・連立漸化式・等比数列になる条件・一般項当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $x_{1} = 2$ 、 $y_{1} = \frac{1}{2}$ 、 $x_{n + 1} = x_{n}^{5} y_{n}^{2}$ 、 $y_{n + 1} = x_{n} y_{n}^{6}$ で定まる正の数列について、 $a_{n} = lo g_{2} x_{n}$ 、 $b_{n} = lo g_{2} y_{n}$ とするとき、 ${a_{n} + k b_{n}}$ が等比数列になる実数 $k$ をすべて求める

答 $k = 2, - 1$

積と累乗の漸化式なので、底 $2$ の対数をとれば和と定数倍の漸化式になる。 $a_{n + 1} + k b_{n + 1}$ を $a_{n}, b_{n}$ で表し、「 $a_{n} + k b_{n}$ の定数倍になる」という条件を係数で比べる。

両辺の底 $2$ の対数をとると、 $lo g_{2} (x^{5} y^{2}) = 5 lo g_{2} x + 2 lo g_{2} y$ などから

a_{n + 1} = 5 a_{n} + 2 b_{n}, b_{n + 1} = a_{n} + 6 b_{n} \dots ①

である。初項は $a_{1} = lo g_{2} 2 = 1$ 、 $b_{1} = lo g_{2} \frac{1}{2} = - 1$ である。

$c_{n} = a_{n} + k b_{n}$ とおくと ① より

c_{n + 1} = (5 a_{n} + 2 b_{n}) + k (a_{n} + 6 b_{n}) = (5 + k) a_{n} + (2 + 6 k) b_{n}

である。 ${c_{n}}$ が公比 $λ$ の等比数列になるには $c_{n + 1} = λ c_{n} = λ a_{n} + λk b_{n}$ であればよい。 $a_{n}, b_{n}$ の係数を比べて

5 + k = λ, 2 + 6 k = λk

である。第1式を第2式に入れると

2 + 6 k = (5 + k) k = k^{2} + 5 k, k^{2} - k - 2 = 0, (k - 2) (k + 1) = 0

なので $k = 2$ または $k = - 1$ である。それぞれ公比は $λ = 5 + k$ で

$k = 2$ ： $λ = 7$ 、 $c_{1} = a_{1} + 2 b_{1} = 1 - 2 = - 1 \neq = 0$
$k = - 1$ ： $λ = 4$ 、 $c_{1} = a_{1} - b_{1} = 1 + 1 = 2 \neq = 0$

で、どちらも初項が $0$ でないので確かに等比数列になる。よって

k = 2, k = - 1

である。

数値で回すと $a_{n} + 2 b_{n} = - 1, - 7, - 49, - 343, \dots$ （公比 $7$ ）、 $a_{n} - b_{n} = 2, 8, 32, 128, \dots$ （公比 $4$ ）になった。 $k = 0, 1, 3$ では比が一定にならなかった。

初項が $0$ だと「等比数列」にならない（公比が定まらない）。 $c_{1} \neq = 0$ の確認を入れる。

$a_{n}, b_{n}$ の係数を比べてよいのは、 $a_{n}$ と $b_{n}$ が独立に動くからである。実際に $(a_{1}, b_{1}) = (1, - 1)$ から ① で生成される列は $a_{n}$ と $b_{n}$ が比例しないので問題ない。

(2)数列 ${x_{n}}$ の一般項を求める

答 $x_{n} = 2^{\frac{4 ^{n} - 7 ^{n - 1}}{3}}$

(1) で2本の等比数列が手に入ったので、連立して $a_{n}$ を取り出す。最後に $x_{n} = 2^{a_{n}}$ に戻す。

(1) より

a_{n} + 2 b_{n} = - 1 \cdot 7^{n - 1}, a_{n} - b_{n} = 2 \cdot 4^{n - 1}

である。第1式から第2式を引くと $3 b_{n} = - 7^{n - 1} - 2 \cdot 4^{n - 1}$ なので

b_{n} = - \frac{7 ^{n - 1} + 2 \cdot 4 ^{n - 1}}{3}

である。これを第2式に入れて

a_{n} = 2 \cdot 4^{n - 1} + b_{n} = \frac{6 \cdot 4 ^{n - 1} - 7 ^{n - 1} - 2 \cdot 4 ^{n - 1}}{3} = \frac{4 \cdot 4 ^{n - 1} - 7 ^{n - 1}}{3} = \frac{4 ^{n} - 7 ^{n - 1}}{3}

である。 $x_{n} = 2^{a_{n}}$ だから

x_{n} = 2^{\frac{4 ^{n} - 7 ^{n - 1}}{3}}

である。

$n = 1, 2, 3, 4$ で指数は $1, 3, 5, - 29$ となり、 $x_{1} = 2, x_{2} = 8, x_{3} = 32, x_{4} = 2^{- 29}$ である。 $4^{n}$ より $7^{n - 1}$ のほうが速く増えるので、 $n ≧ 4$ では指数が負、つまり $x_{n}$ は急速に $0$ に近づく。