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東北大学　2025年度　前期日程　理系

第4問積分法の解答・解説

共通接線・対数関数と冪関数・面積・極限当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $n$ を正の整数、 $a$ を正の実数とし $f (x) = n lo g x$ 、 $g (x) = a x^{n}$ とする。 $y = f (x)$ と $y = g (x)$ が共有点をもち、その点での接線が一致するとき $a$ を求める

答 $a = \frac{1}{e}$

接点を $x = t$ として「値が等しい」「微分係数が等しい」の2本を立てる。微分係数の式から $a t^{n} = 1$ が出て、これを値の式に入れると $t$ が一発で決まる。

接点の $x$ 座標を $t (> 0)$ とする。条件は

n lo g t = a t^{n} \dots ①, \frac{n}{t} = an t^{n - 1} \dots ②

である（ $f^{'} (x) = \frac{n}{x}$ 、 $g^{'} (x) = an x^{n - 1}$ ）。② の両辺を $n$ で割って $t$ を掛けると

1 = a t^{n}

である。これを ① に入れると $n lo g t = 1$ 、つまり

lo g t = \frac{1}{n}, t = e^{\frac{1}{n}}

である。 $a t^{n} = 1$ から $t^{n} = e$ なので

a = \frac{1}{t ^{n}} = \frac{1}{e}

である。 $a = \frac{1}{e} > 0$ で条件に合う。

接点では $f (t) = g (t) = a t^{n} = 1$ なので、共有点の座標は $(e^{1/ n}, 1)$ である。 $n$ によらず $y$ 座標が $1$ になる。

$n = 3$ で $t = 1.395612425$ 、 $f (t) = g (t) = 1.000000000$ 、 $f^{'} (t) = g^{'} (t) = 2.149593932$ になった。

②（微分係数が等しい）から先に $a t^{n} = 1$ を取り出すのが早い。①②を連立して $t$ を消そうとすると回り道になる。

(2)この2つの曲線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S_{n}$ を求める

答 $S_{n} = \frac{n ^{2} e ^{\frac{1}{n}}}{n + 1} - n$

$y = g (x)$ は $x > 0$ でつねに正、 $y = f (x)$ は $x = 1$ で $x$ 軸を横切る。囲まれた部分は $0 ≦ x ≦ 1$ では $x$ 軸と $g$ のあいだ、 $1 ≦ x ≦ t$ では $f$ と $g$ のあいだになる。2つに分けて積分する。

n = 2 のときの y = n log x と y = ax^n（a = 1/e）。2曲線は (e^{1/n}, 1) で接する。網かけが囲まれた部分で、x 軸・2曲線が境界。

$t = e^{1/ n}$ とおく。 $g (x) = \frac{x ^{n}}{e}$ は $x > 0$ で正、 $f (x) = n lo g x$ は $x = 1$ で $0$ になる。また

g (x) - f (x) ≧ 0 (x > 0)

である（ $x = t$ で接するので差は $0$ 以上で、等号は $x = t$ のみ）。したがって囲まれた部分は、 $0 ≦ x ≦ 1$ では $x$ 軸と $y = g (x)$ のあいだ、 $1 ≦ x ≦ t$ では $y = f (x)$ と $y = g (x)$ のあいだである。

S_{n} = \int_{0}^{1} g d x + \int_{1}^{t} (g - f) d x = \int_{0}^{t} g d x - \int_{1}^{t} f d x

第1項。 $t^{n} = e$ に注意して

\int_{0}^{t} \frac{x ^{n}}{e} d x = \frac{t ^{n + 1}}{e ( n + 1 )} = \frac{t ^{n} \cdot t}{e ( n + 1 )} = \frac{t}{n + 1}

である。

第2項。 $\int lo g x d x = x lo g x - x$ なので

\int_{1}^{t} n lo g x d x = n [x lo g x - x]_{1}^{t} = n {(t \cdot \frac{1}{n} - t) - (0 - 1)} = t - n t + n

である（ $lo g t = \frac{1}{n}$ ）。よって

S_{n} = \frac{t}{n + 1} - (t - n t + n) = t (\frac{1}{n + 1} + n - 1) - n

で、括弧の中は

\frac{1}{n + 1} + n - 1 = \frac{1 + ( n - 1 ) ( n + 1 )}{n + 1} = \frac{n ^{2}}{n + 1}

だから

S_{n} = \frac{n ^{2}}{n + 1} e^{\frac{1}{n}} - n

である。

$n = 1$ なら $S_{1} = \frac{e}{2} - 1 = 0.3591 \dots$ である。 $g$ が直線 $y = \frac{x}{e}$ になる場合で、手計算でも確かめやすい。

$n = 5$ で数値積分すると $0.089178159$ 、式の値も $0.089178159$ だった。

$x \to 0^{+}$ で $f \to - \infty$ だが、囲まれた部分の下側の境界は $x$ 軸なので、 $f$ の積分は $x = 1$ からでよい。

$t^{n} = e$ を使うと $t^{n + 1} = e t$ となって $e$ が約分される。 $t = e^{1/ n}$ を代入し続けるより式が軽い。

(3) $n \to \infty lim S_{n}$ を求める

答 $0$

$S_{n} = \frac{n ^{2}}{n + 1} e^{1/ n} - n$ は $\infty - \infty$ の形なので、通分して1つの分数にまとめる。 $h = \frac{1}{n}$ とおいて $\frac{e ^{h} - 1}{h} \to 1$ を使う。

通分すると

S_{n} = \frac{n ^{2} e ^{\frac{1}{n}} - n ( n + 1 )}{n + 1} = \frac{n ^{2} ( e ^{\frac{1}{n}} - 1 ) - n}{n + 1}

である。 $h = \frac{1}{n} (\to 0)$ とおくと $n^{2} (e^{h} - 1) = \frac{e ^{h} - 1}{h} \cdot n$ なので

S_{n} = \frac{n ( \frac{e ^{h} - 1}{h} - 1 )}{n + 1} = \frac{n}{n + 1} \cdot \frac{\frac{e ^{h} - 1}{h} - 1}{1}

である。ここで $\frac{n}{n + 1} \to 1$ であり、 $\frac{e ^{h} - 1}{h} \to 1$ （ $h \to 0$ ）だから $\frac{e ^{h} - 1}{h} - 1 \to 0$ である。よって

n \to \infty lim S_{n} = 1 \cdot 0 = 0

である。

もう少し細かく見ると $e^{h} = 1 + h + \frac{h ^{2}}{2} + \dots$ から $\frac{e ^{h} - 1}{h} - 1 = \frac{h}{2} + \dots = \frac{1}{2 n} + \dots$ なので $S_{n} \approx \frac{1}{2 n}$ である。 $n = 1000$ で $0.0004997$ 、 $n = 100000$ で $0.000005$ と、確かに $\frac{1}{2 n}$ のペースで $0$ に近づく。

$n = 1000$ で $S_{n} = 0.000499667$ 、 $n = 100000$ で $0.000005000$ となり、 $\frac{1}{2 n}$ とよく合った。

$\frac{n ^{2}}{n + 1} e^{1/ n} \to \infty$ と $n \to \infty$ の差なので、そのままでは不定形。1つの分数にまとめてから $\frac{e ^{h} - 1}{h} \to 1$ を使う。

$e^{1/ n} \to 1$ だけでは足りない。 $e^{1/ n} - 1$ が $\frac{1}{n}$ と同じ速さで $0$ に行くことを使う。

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問題文について

(1)n を正の整数、a を正の実数とし f(x)=nlogx、g(x)=axn とする。y=f(x) と y=g(x) が共有点をもち、その点での接線が一致するとき a を求める

(2)この2つの曲線と x 軸で囲まれた部分の面積 Sn​ を求める

(3)n→∞lim​Sn​ を求める

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