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東北大学　2025年度　前期日程　理系

第5問空間ベクトルの解答・解説

球面と直線の交点・立体射影・逆写像・軌跡が円であることの証明当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $S$ を原点中心・半径 $1$ の球面、 $P (a, b, c)$ を $N (0, 0, 1)$ と異なる $S$ 上の点とする。直線 $PN$ と $x y$ 平面の交点 $Q$ の座標を $a, b, c$ で表す

答 $Q (\frac{a}{1 - c}, \frac{b}{1 - c}, 0)$

直線を $N$ を基点に媒介変数で書き、 $z = 0$ となる値を求めるだけ。 $P \neq = N$ から $c \neq = 1$ が言えるので割れる。

N, P, Q を含む平面での断面。N(0,0,1) から球面上の点 P を通る直線を延ばすと、xy 平面と Q で交わる（立体射影）。

$P$ は $S$ 上にあり $N$ と異なるので $c \neq = 1$ である（ $c = 1$ なら $a^{2} + b^{2} = 0$ で $P = N$ ）。

直線 $PN$ 上の点は、実数 $s$ を使って

N + s (P - N) = (s a, s b, 1 + s (c - 1))

と書ける。 $z$ 座標が $0$ になるのは

1 + s (c - 1) = 0, s = \frac{1}{1 - c}

のときである。よって

Q (\frac{a}{1 - c}, \frac{b}{1 - c}, 0)

である。

球面上の点を2万個ランダムにとると、この $Q$ はつねに直線 $NP$ 上にあった。

$c \neq = 1$ の根拠を書く。 $P \neq = N$ と「 $S$ 上」の両方を使う。

(2) $x y$ 平面上の点 $(p, q, 0)$ と $N$ を通る直線 $m$ について、 $m$ と $S$ の交点のうち $N$ 以外のものの座標を $p, q$ で表す

答 $(\frac{2 p}{p ^{2} + q ^{2} + 1}, \frac{2 q}{p ^{2} + q ^{2} + 1}, \frac{p ^{2} + q ^{2} - 1}{p ^{2} + q ^{2} + 1})$

(1) の逆向き。 $m$ を $N$ 基点で媒介変数表示し、球面の式に代入する。 $u = 0$ （ $N$ そのもの）が必ず解になるので、2次方程式は $u$ でくくれて一瞬で解ける。

$m$ 上の点は実数 $u$ を使って

N + u ((p, q, 0) - N) = (u p, u q, 1 - u)

と書ける。 $S$ の式 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ に代入すると

u^{2} p^{2} + u^{2} q^{2} + (1 - u)^{2} = 1

すなわち

u^{2} (p^{2} + q^{2} + 1) - 2 u = 0, u {u (p^{2} + q^{2} + 1) - 2} = 0

である。 $u = 0$ は $N$ に対応するので、求める交点は $u = \frac{2}{p ^{2} + q ^{2} + 1}$ のほうである。 $D = p^{2} + q^{2} + 1 (> 0)$ とおくと

(\frac{2 p}{D}, \frac{2 q}{D}, 1 - \frac{2}{D}) = (\frac{2 p}{D}, \frac{2 q}{D}, \frac{p ^{2} + q ^{2} - 1}{p ^{2} + q ^{2} + 1})

である。

(1) と (2) は互いに逆の対応になっている。実際 $a = \frac{2 p}{D}, b = \frac{2 q}{D}, c = \frac{p ^{2} + q ^{2} - 1}{D}$ とすると $1 - c = \frac{2}{D}$ なので $\frac{a}{1 - c} = p$ 、 $\frac{b}{1 - c} = q$ になる。つまり $S ∖ {N}$ と $x y$ 平面は1対1に対応する。

(1) で得た $Q$ をこの式に入れると、2万点すべてで元の $P$ に戻った。

$u = 0$ が必ず解になる。因数分解して「もう一方」をとる。解の公式を使うと根号が出て手間になる。

(3)点 $(0, 0, \frac{1}{2})$ を通りベクトル $(3, 4, 5)$ に直交する平面を $α$ とする。 $P$ が $α$ と $S$ の交わりを動くとき、 $Q$ が $x y$ 平面上の円周上を動くことを示す

答 $Q$ は中心 $(- \frac{6}{5}, - \frac{8}{5}, 0)$ 、半径 $7$ の円周上を動く

$Q = (p, q, 0)$ とおき、(2) の式で $P$ を $p, q$ で表して $α$ の方程式に代入する。分母 $p^{2} + q^{2} + 1$ を払うと $p, q$ の2次式になり、 $p^{2}$ と $q^{2}$ の係数がそろうので円の方程式になる。

$α$ の方程式は、点 $(0, 0, \frac{1}{2})$ を通り法線ベクトルが $(3, 4, 5)$ だから

3 x + 4 y + 5 (z - \frac{1}{2}) = 0, すなわち 3 x + 4 y + 5 z = \frac{5}{2}

である。 $N (0, 0, 1)$ は $3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 1 = 5 \neq = \frac{5}{2}$ なので $α$ 上にない。また原点と $α$ の距離は $\frac{5/2}{3 ^{2} + 4 ^{2} + 5 ^{2}} = \frac{5/2}{5 2} = \frac{1}{2 2} < 1$ なので、 $α$ と $S$ は交わる。

$Q = (p, q, 0)$ とおく。(2) より $P$ の座標は $D = p^{2} + q^{2} + 1$ として

a = \frac{2 p}{D}, b = \frac{2 q}{D}, c = \frac{p ^{2} + q ^{2} - 1}{D}

である。 $P \in α$ の条件 $3 a + 4 b + 5 c = \frac{5}{2}$ に代入して両辺に $D$ を掛けると

6 p + 8 q + 5 (p^{2} + q^{2} - 1) = \frac{5}{2} (p^{2} + q^{2} + 1)

である。 $p^{2} + q^{2}$ の項を左辺にまとめると

\frac{5}{2} (p^{2} + q^{2}) + 6 p + 8 q - \frac{15}{2} = 0

で、両辺に $\frac{2}{5}$ を掛けて

p^{2} + q^{2} + \frac{12}{5} p + \frac{16}{5} q - 3 = 0

となる。平方完成すると

(p + \frac{6}{5})^{2} + (q + \frac{8}{5})^{2} = 3 + \frac{36}{25} + \frac{64}{25} = 3 + 4 = 7

である。よって $Q$ は中心 $(- \frac{6}{5}, - \frac{8}{5}, 0)$ 、半径 $7$ の円周上にある。

逆に、この円周上の任意の点 $(p, q, 0)$ に対し、(2) で定まる $S$ 上の点は上の計算を逆にたどって $α$ 上にあり、しかも (1) でその点から戻る先が $(p, q, 0)$ である。したがって $P$ が $α \cap S$ 全体を動くとき $Q$ はこの円周全体を動く。 $■$

$N \in / α$ であることが効いている。もし $N$ が $α$ 上にあると、 $α \cap S$ は $N$ を通る円になり、その像は円ではなく直線になる。

平面の近くにある球面上の点58個について $Q$ を計算すると、 $(- \frac{6}{5}, - \frac{8}{5})$ からの距離は $2.6445$ 〜 $2.6485$ で、 $7 = 2.645751$ とよく合った。

$p^{2}$ と $q^{2}$ の係数がそろうことを確認する。そろわなければ円にならない。

「円周上にある」だけでなく「円周全体を動く」ことまで言うには、(1)(2) が互いに逆であること（1対1対応）を使う。

$N$ が $α$ 上にないことを確かめておく。これが円になるための鍵である。

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問題文について

(1)S を原点中心・半径 1 の球面、P(a,b,c) を N(0,0,1) と異なる S 上の点とする。直線 PN と xy 平面の交点 Q の座標を a,b,c で表す

(2)xy 平面上の点 (p,q,0) と N を通る直線 m について、m と S の交点のうち N 以外のものの座標を p,q で表す

(3)点 (0,0,21​) を通りベクトル (3,4,5) に直交する平面を α とする。P が α と S の交わりを動くとき、Q が xy 平面上の円周上を動くことを示す

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(2) $x y$ 平面上の点 $(p, q, 0)$ と $N$ を通る直線 $m$ について、 $m$ と $S$ の交点のうち $N$ 以外のものの座標を $p, q$ で表す

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