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東北大学　2025年度　前期日程　理系

第6問図形と計量の解答・解説

正五角形・黄金比・回転と共通部分・三角関数の最大最小当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)1辺の長さが $1$ の正五角形 $K$ の対角線の長さを求める

答 $\frac{1 + 5}{2}$

正五角形の外接円を使うと、辺は中心角 $7 2^{\circ}$ 、対角線は中心角 $14 4^{\circ}$ に対する弦なので、比が $\frac{sin 7 2 ^{\circ}}{sin 3 6 ^{\circ}} = 2 cos 3 6^{\circ}$ になる。 $cos 3 6^{\circ}$ を2倍角・3倍角から出す。

外接円の半径を $R$ とすると、辺は中心角 $\frac{36 0 ^{\circ}}{5} = 7 2^{\circ}$ に対する弦、対角線は中心角 $14 4^{\circ}$ に対する弦なので

1 = 2 R sin 3 6^{\circ}, d = 2 R sin 7 2^{\circ}

である。割り算して2倍角の公式を使うと

d = \frac{sin 7 2 ^{\circ}}{sin 3 6 ^{\circ}} = \frac{2 sin 3 6 ^{\circ} cos 3 6 ^{\circ}}{sin 3 6 ^{\circ}} = 2 cos 3 6^{\circ}

である。 $cos 3 6^{\circ}$ を求める。 $θ = 3 6^{\circ}$ とすると $2 θ = 7 2^{\circ}$ 、 $3 θ = 10 8^{\circ} = 18 0^{\circ} - 7 2^{\circ}$ なので

cos 3 θ = - cos 2 θ

である。 $c = cos θ$ とおいて3倍角・2倍角の公式を入れると

4 c^{3} - 3 c = - (2 c^{2} - 1), 4 c^{3} + 2 c^{2} - 3 c - 1 = 0

である。 $c = - 1$ が解なので因数分解して

(c + 1) (4 c^{2} - 2 c - 1) = 0

となる。 $c = cos 3 6^{\circ} > 0$ だから $4 c^{2} - 2 c - 1 = 0$ で

c = \frac{2 + 4 + 16}{8} = \frac{1 + 5}{4}

である。よって

d = 2 cos 3 6^{\circ} = \frac{1 + 5}{2}

である（黄金比 $1.618 \dots$ ）。

相似を使う手もある。対角線2本の交点が対角線を $1 : d - 1$ に分けることから $d^{2} = d + 1$ が出て、 $d > 0$ より $d = \frac{1 + 5}{2}$ である。

数値で $2 R sin 7 2^{\circ} = 1.618033989$ 、 $\frac{1 + 5}{2} = 1.618033989$ と一致した。

(2) $K$ の周で囲まれた図形を $P$ 、 $P$ を $K$ の外接円の中心のまわりに角 $θ$ 回した図形を $P_{θ}$ 、 $P$ と $P_{θ}$ の共通部分の周の長さを $ℓ_{θ}$ とするとき、 $0^{\circ} < θ < 7 2^{\circ}$ での $ℓ_{θ}$ の最小値が $25$ であることを示す

答 $ℓ_{θ} = 10 r {tan \frac{θ}{2} + tan (3 6^{\circ} - \frac{θ}{2})}$ （ $r$ は内接円の半径）で、 $θ = 3 6^{\circ}$ のとき最小値 $25$

$P$ も $P_{θ}$ も「中心からの距離が $r$ の5本の直線で切り取られた領域」なので、共通部分は10本の直線で切り取られた十角形である。中心から各辺に下ろした垂線の足で辺を2つに割ると、それぞれの長さが $r tan (半分の中心角)$ になり、周の長さが $tan$ の和にまとまる。

正五角形 P（実線）と、中心のまわりに θ = 24° 回した P_θ（破線）。網かけが共通部分で、中心から各辺までの距離はどれも r（内接円の半径）の十角形になる。

外接円の中心を $O$ 、内接円の半径（中心から辺までの距離）を $r$ とする。1辺が $1$ なので

r = \frac{1}{2 tan 3 6 ^{\circ}}

である（辺の中点までの距離。辺の半分 $\frac{1}{2}$ と中心角の半分 $3 6^{\circ}$ から）。

共通部分は十角形。 $P$ は「 $O$ からの距離が $r$ の5本の直線」の内側として表せる。各直線の法線方向（ $O$ から辺に下ろした垂線の向き）は $7 2^{\circ}$ ずつ違う。 $P_{θ}$ も同じで、法線方向が全体に $θ$ だけずれている。よって $P \cap P_{θ}$ は、法線方向が

ψ, ψ + θ, ψ + 7 2^{\circ}, ψ + 7 2^{\circ} + θ, \dots

と並ぶ10本の直線の内側である。 $0^{\circ} < θ < 7 2^{\circ}$ なので隣り合う方向の差は $θ$ と $7 2^{\circ} - θ$ が交互に現れ、どちらも $0^{\circ}$ と $7 2^{\circ}$ のあいだにある。したがってどの直線も辺を1つずつ提供し、 $P \cap P_{θ}$ は十角形になる。

周の長さ。 1本の直線について、 $O$ から下ろした垂線の足を $H$ とする。隣の直線との交点を $V$ とし、2本の法線のなす角を $δ$ とすると、 $V$ は2つの法線方向のちょうど真ん中の向きにあるので $∠ HOV = \frac{δ}{2}$ であり、直角三角形 $OHV$ から

HV = r tan \frac{δ}{2}

である。各辺は $H$ によって左右に分かれ、それぞれの長さが隣の法線との角の半分の $tan$ の $r$ 倍になる。10本ぶん足し合わせると、どの「隣との角 $δ$ 」もちょうど2回ずつ数えられるので

ℓ_{θ} = 2 r \sum tan \frac{δ}{2} = 2 r {5 tan \frac{θ}{2} + 5 tan \frac{7 2 ^{\circ} - θ}{2}}

すなわち、 $u = \frac{θ}{2} \in (0^{\circ}, 3 6^{\circ})$ とおいて

ℓ_{θ} = 10 r {tan u + tan (3 6^{\circ} - u)}

である。

最小値。 $tan A + tan B = \frac{sin ( A + B )}{cos A cos B}$ を使うと

tan u + tan (3 6^{\circ} - u) = \frac{sin 3 6 ^{\circ}}{cos u cos ( 3 6 ^{\circ} - u )}

である。分母を積和の公式で直すと

cos u cos (3 6^{\circ} - u) = \frac{1}{2} {cos (2 u - 3 6^{\circ}) + cos 3 6^{\circ}}

である。 $0^{\circ} < u < 3 6^{\circ}$ では $- 3 6^{\circ} < 2 u - 3 6^{\circ} < 3 6^{\circ}$ なので $cos (2 u - 3 6^{\circ})$ は $2 u = 3 6^{\circ}$ 、つまり $u = 1 8^{\circ}$ のとき最大値 $1$ をとる。分母が最大のとき全体は最小だから、 $ℓ_{θ}$ は $u = 1 8^{\circ}$ 、すなわち

θ = 3 6^{\circ}

で最小になる。そのときの値は

ℓ_{3 6^{\circ}} = 10 r \cdot 2 tan 1 8^{\circ} = \frac{10}{2 tan 3 6 ^{\circ}} \cdot 2 tan 1 8^{\circ} = \frac{10 tan 1 8 ^{\circ}}{tan 3 6 ^{\circ}}

である。2倍角の公式 $tan 3 6^{\circ} = \frac{2 tan 1 8 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 1 8 ^{\circ}}$ から

\frac{tan 1 8 ^{\circ}}{tan 3 6 ^{\circ}} = \frac{1 - tan ^{2} 1 8 ^{\circ}}{2}

である。 $sin 1 8^{\circ} = \frac{5 - 1}{4}$ より

sin^{2} 1 8^{\circ} = \frac{3 - 5}{8}, cos^{2} 1 8^{\circ} = \frac{5 + 5}{8}

なので

tan^{2} 1 8^{\circ} = \frac{3 - 5}{5 + 5} = \frac{( 3 - 5 ) ( 5 - 5 )}{20} = \frac{20 - 8 5}{20} = 1 - \frac{2}{5}

である。したがって

\frac{tan 1 8 ^{\circ}}{tan 3 6 ^{\circ}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5}

となり

ℓ_{3 6^{\circ}} = \frac{10}{5} = 25

である。よって $ℓ_{θ}$ の最小値は $25$ である。 $■$

$sin 1 8^{\circ} = \frac{5 - 1}{4}$ は (1) の $cos 3 6^{\circ} = \frac{1 + 5}{4}$ から $cos 3 6^{\circ} = 1 - 2 sin^{2} 1 8^{\circ}$ で出せる。 $θ = 3 6^{\circ}$ のときは10本の法線が $3 6^{\circ}$ ずつ等間隔に並ぶので、共通部分は正十角形になる。

$θ$ を $0.00 1^{\circ}$ 刻みで動かすと最小は $θ = 36.00 0^{\circ}$ での $4.472135955$ で、 $25 = 4.472135955$ と一致した。 $θ = 10, 24, 36, 50, 70$ 度について五角形どうしの共通部分を直接クリッピングで求めると、いずれも十角形で、周の長さがこの式と小数9桁まで一致した。