第3問 微分法の解答・解説

微分すると

である。$g(x)=2x^2+2ax+\left(a+2\right)$ とおく。

極大値をもつ条件。 $f$ の最高次の係数は正なので、$x\to \pm \infty$ で $f\to +\infty$ である。$f^{\prime }$ は3次で最高次の係数が正だから、$f^{\prime }$ が異なる3つの実数解 $r_1<r_2<r_3$ をもてば $f^{\prime }$ の符号は $-,+,-,+$ と変わり、$r_2$ で極大になる。逆に $f^{\prime }$ の異なる実数解が1つか2つのときは、$f^{\prime }$ の符号変化が「負から正」へ1回だけになり、極大値をもたない。

よって条件は「$f^{\prime }$ が異なる3つの実数解をもつ」、すなわち

である。判別式を4で割ったものは

で、$a^2-2a-4>0$ は $a^2-2a-4=0$ の解 $a=1\pm \sqrt{5}$ を使って

である。また $g(0)=a+2\ne 0$、すなわち $a\ne -2$ である。

$1-\sqrt{5}=-1.236\cdots$ なので $-2<1-\sqrt{5}$ であり、$a=-2$ は前者の範囲の中にある。したがって求める範囲は

である。

$a=-2$ のときは $g(x)=2x^2-4x=2x\left(x-2\right)$ となり $f^{\prime }(x)=4x^2\left(x-2\right)$ である。$x=0$ は重解で符号が変わらず、$f$ は $x=2$ で極小になるだけである。

$f^{\prime }(x)=2xg(x)$ である。$x=0$ の近くで $f^{\prime }$ の符号を見る。

$g$ は連続なので、$g(0)\ne 0$ なら $x=0$ の十分近くで $g$ の符号は $g(0)$ と同じである。$2x$ は $x<0$ で負、$x>0$ で正だから

1. $g(0)<0$ のとき：$x<0$ で $f^{\prime }>0$、$x>0$ で $f^{\prime }<0$。つまり $x=0$ で極大
2. $g(0)>0$ のとき：$x<0$ で $f^{\prime }<0$、$x>0$ で $f^{\prime }>0$。つまり $x=0$ で極小
3. $g(0)=0$（$a=-2$）のとき：(1) の注のとおり $f^{\prime }(x)=4x^2\left(x-2\right)$ で、$x=0$ の前後で $f^{\prime }$ の符号は変わらず、極値にならない

よって $x=0$ で極大になる条件は $g(0)=a+2<0$、すなわち

である。

なおこのとき、$g$ は下に凸で $g(0)<0$ だから $g=0$ は $0$ をはさむ異なる2実数解をもち、(1) の条件も自動的に満たされている（$a<-2<1-\sqrt{5}$ でもある）。