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北海道大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理系

北大理系 2025年度数学第2問（図形と方程式）の解答・解説

北海道大学（北大理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理系入試の数学第2問（分野：図形と方程式）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「円への2接線・直角三角形と四角形の面積・楕円上の点の媒介変数・消去・2次関数の最大最小」を扱います。

出題テーマ：円への2接線・直角三角形と四角形の面積・楕円上の点の媒介変数・消去・2次関数の最大最小当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)点 $P (p, q)$ （ $p^{2} + q^{2} > 1$ ）から単位円 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ に引いた2本の接線の接点を $Q_{1}, Q_{2}$ とするとき、四角形 $OQ_{1} PQ_{2}$ の面積 $S$ を $p, q$ で表す

答 $S = p^{2} + q^{2} - 1$

接線と半径は直交するので、 $△ OQ_{1} P$ と $△ OQ_{2} P$ は合同な直角三角形である。

円の接線は接点を通る半径に垂直だから、 $∠ OQ_{1} P = ∠ OQ_{2} P = \frac{π}{2}$ である。また $OQ_{1} = OQ_{2} = 1$ 、斜辺 $OP = p^{2} + q^{2}$ は共通なので、直角三角形 $△ OQ_{1} P$ と $△ OQ_{2} P$ は合同である。

三平方の定理より

PQ_{1} = PQ_{2} = OP^{2} - OQ_{1}^{2} = p^{2} + q^{2} - 1

であるから、四角形 $OQ_{1} PQ_{2}$ の面積 $S$ は

S = 2 \cdot \frac{1}{2} OQ_{1} \cdot PQ_{1} = p^{2} + q^{2} - 1

である。

$P (2, 0)$ のとき接点は $(\frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2})$ で四角形は一辺 $1$ の正方形となり、面積は $1 = 2 + 0 - 1$ で一致する。

接点の座標 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ を $p, q$ で具体的に解いてから面積を出そうとすると計算が膨らむ。半径と接線の直交だけで即座に求まる。

(2)点 $P$ が楕円 $C_{2} : \frac{x ^{2}}{2} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$ 上を動くとき、 $S$ の最大値と最小値を求める

答最大値 $2$ 、最小値 $1$

楕円の式から $p^{2} = 2 (1 - \frac{q ^{2}}{3})$ を代入して、根号の中身を $q^{2}$ の1次式にする。

点 $P (p, q)$ が楕円 $C_{2}$ 上にあるとき

\frac{p ^{2}}{2} + \frac{q ^{2}}{3} = 1 ⟺ p^{2} = 2 (1 - \frac{q ^{2}}{3}) ≧ 0

である。 $p^{2} ≧ 0$ より $0 ≦ q^{2} ≦ 3$ の範囲を動く。このとき

p^{2} + q^{2} - 1 = 2 - \frac{2}{3} q^{2} + q^{2} - 1 = 1 + \frac{q ^{2}}{3}

であり、つねに $p^{2} + q^{2} > 1$ を満たす。 $0 ≦ q^{2} ≦ 3$ だから

1 ≦ 1 + \frac{q ^{2}}{3} ≦ 2 ⟹ 1 ≦ S ≦ 2

となる。よって $S$ は

$q = \pm 3$ （ $p = 0$ ）のとき最大値 $2$
$q = 0$ （ $p = \pm 2$ ）のとき最小値 $1$

をとる。

単位円

C_{1}

と楕円

C_{2} : x^{2} /2 + y^{2} /3 = 1

。面積

S = OP^{2} - 1

は

OP

が最大の

(0, \pm 3)

で最大値

2

、

OP

が最小の

(\pm 2, 0)

で最小値

1

をとる。

$S = OP^{2} - 1$ は原点からの距離 $OP$ の単調増加関数であり、長軸端 $(0, \pm 3)$ で最大、短軸端 $(\pm 2, 0)$ で最小となることと整合する。

$p^{2}$ を消去したとき、残る変数 $q$ の動く範囲 $0 ≦ q^{2} ≦ 3$ を明記する。

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