北海道大学・2027年度対策
北大理系数学
分野別完成演習
標準問題は終えた。過去問はまだ早い。
北大の過去問を初めて開いた受験生は、たいてい同じ感想をもつ。「問題は見たことがある形なのに、最後の小問だけ手が出ない」。これは北大の設計そのものである。北大理系数学は5題中4題までが標準的な題材で作られており、(1)はほぼ確実に取れる。ところが最後の小問だけが、急に一段のぼる。教科書傍用問題集や網羅系問題集では、そこが練習できない。
- 頻出分野
- 7分野
- 収録
- 26題
- 小問
- 96問
- 目標時間の合計
- 640分
¥2,695・118ページ・2026年9月20日発売
北大数学の頻出7分野と、本書の章立て
2019〜2026年度の北海道大学の出題を分析して、次の7分野を選んでいます。 章は数学I・A から数学III へ進む順に並び、第1章〜第5章は数学III を学ぶ前でも解けます。
| 章 | 分野・範囲 | 題 | 標・や・本 | 目標 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 場合の数と確率数学A | 5 | 2・2・1 | 120分 |
| 2 | 図形と方程式、三角関数数学II | 3 | 1・1・1 | 75分 |
| 3 | 数列と漸化式数学B | 4 | 2・1・1 | 95分 |
| 4 | ベクトルと空間図形数学C | 3 | 1・1・1 | 75分 |
| 5 | 複素数平面と平面上の曲線数学C | 3 | 1・1・1 | 75分 |
| 6 | 極限と微分法数学III | 4 | 1・2・1 | 100分 |
| 7 | 積分法数学III | 4 | 1・2・1 | 100分 |
| 計 | 26 | 9・10・7 | 640分 |
「標・や・本」は標準・やや難・本番接続の題数。
目標時間の合計640分は、1日90分ならおよそ8日でひととおり終わる分量です。 時間を計って解く本ではないので、目標時間を超えてもかまいません。
分野ごとの出題傾向と収録問題
各章の扉に置いた「その分野で北大が何を要求するか」と、収録した問題の題材・レベル・目標時間です（問題文は載せていません）。
第1章・数学A
場合の数と確率
数え上げをnの式にし、最後に一段のぼる
北大の確率は、 年度から 年度までの 年で 回出題された（出なかったのは 年度のみ）。形はきわめて安定している。
- さいころが主役である。 題中 題（ 年度）が さいころか、さいころに相当する乱数装置を使う
- 回の試行の確率を の式で表させるのが本命である。ただし確率漸化式はこの 年で一度も出ていない。使うのは余事象・包除・場合分けであって、漸化式ではない
- 条件つき確率が ・ 年度に出ている。「 が起きたとき 」の と を読み違えないこと
- 他分野との融合が多い。倍数（、 年度）、絶対値の和の最小（ 年度）、不等式の証明（ 年度）
本章の 題は数学A の範囲だけで解ける。数学III を学んでいなくても取り組める。
- 1-1標準さいころ 回でつくる 桁の整数と倍数20分
- 1-2標準 個の玉を並べる20分
- 1-3やや難色と番号のついたカード25分
- 1-4やや難 の目と の目が出る回数の偶奇25分
- 1-5本番接続隣り合って同じ色になる箇所30分
第2章・数学II
図形と方程式、三角関数
文字定数を最後に動かし、場合分けを排反に書く
数学III を使わずに解ける「関数と図形」の大問は、 年で 題出ている（ 年度大問2・大問3、 年度大問1・大問3、 年度大問2）。北大がここで測っているものは、発想ではなく手つきの正確さである。
- 文字定数を最後に動かす。 年度大問2 は を含む 接線の交点を求めてから を動かし、 年度大問3 は面積 を出してから を動かす。 変数が つあって、条件式で つに減らすという一手間が必ず入る
- 場合分けが必ずある。 年度大問1 は 、、 の 通り。 境界をどちらにも入れて書くと、そこで減点される
- 「図示せよ」が 年で 題ある。境界を含むか否か、除外点があるかで差がつく。 年度大問3 は を含む不等式の領域で、対数をとって底で場合を分ける力が要った
本章は 題である。領域の上での最大最小、対数不等式の領域の図示、三角方程式の解の個数を扱う。
- 2-1標準円が切り取る領域の上での最大最小20分
- 2-2やや難 を含む不等式の表す領域25分
- 2-3本番接続 の解の個数30分
第3章・数学B
数列と漸化式
置きかえて解き、最後に整数か不等式へつなぐ
数列は 年で 題が主題になった（ 年度大問4、 年度大問2、 年度大問3、 年度大問1、 年度大問1）。さらに数学III の極限や積分の中に、数列はほぼ毎年入りこむ。北大の数列は、出題の型が つしかない。
- 置きかえて解かせる型。 年度大問1 は 、 年度大問2 は座標を成分ごとに、 年度大問3 は を つの数とみる。(1) や (2) で置きかえの形が与えられるので、それに乗れるかどうかだけで決まる
- 解いたあと整数か不等式へ持っていく型。 年度大問4 は「 は偶数」「 が偶数のとき で割り切れる」、 年度大問1 は整数部分の桁数。 一般項が出たところが折り返し地点であって、終点ではない
本章の 題は数学B の範囲だけで解ける。 - は場合の数から漸化式を立てる問題で、第 章の続きでもある。
- 3-1標準和 で定まる数列20分
- 3-2標準階差数列と一般項20分
- 3-3やや難 と符号の変化25分
- 3-4本番接続 が 個続かない列30分
第4章・数学C
ベクトルと空間図形
内積1本で、角も距離も体積も出す
ベクトルと空間図形は 年で 題出た（ 年度大問1、 年度大問1、 年度大問1、 年度大問2、 年度大問4、 年度大問4）。出ない年は ・ 年度だけである。平面が 題、空間が 題で、 ちょうど半々なのが北大の特徴である。
- 平面のときは三角形の五心が主題になる。外心（ 年度）、対称点（ 年度）、内心（ 年度）。いずれも「 と表して を決める」の一手で片づく
- 空間のときは座標が与えられる。・・ 年度はすべて座標つきで、平面への垂線・球面・体積を問う。図を描くより、法線ベクトルを 本立てるほうが速い
- 年度大問4 のように文字を含む点を置き、最後にその文字を動かして最大最小を出す形が増えている。第 章と同じ手つきである
本章は平面 題・空間 題である。数学III は使わない。なお、北大の空間の大問はほぼ必ず座標が与えられるので、本章も 題とも座標空間で組んである。
- 4-1標準外心を始点とするベクトルの等式20分
- 4-2やや難直方体の対角線と平面25分
- 4-3本番接続空間で正三角形をつくる第 の頂点30分
第5章・数学C
複素数平面と平面上の曲線
「実数である」を式に翻訳する
複素数平面は 年度以降 年のうち 年で出ている（ 年度大問5、 年度大問1、 年度大問4、 年度大問3）。平面上の曲線も 年度大問5（媒介変数表示の曲線）、 年度大問1（媒介変数と軌跡）、 年度大問2（だ円）で顔を出す。
- 複素数平面の問いは、 題すべてに「図示せよ」が入っている。 境界を含むか、除外点があるかが採点の分かれ目である
- 年度は「 が負の実数となるための必要十分条件」、 年度は「 が存在するような の範囲」。 「実数である」「存在する」を式に翻訳することが毎回問われている。道具は が実数 と、 の つだけである
- 曲線のほうは、媒介変数を消して の関係式に直すのが第一手である
本章は複素数平面 題・曲線 題である。数学III は使わない。
- 5-1標準回転と拡大20分
- 5-2やや難双曲線を切る直線と弦の中点25分
- 5-3本番接続 次方程式の 解が単位円上にある条件30分
第6章・数学III
極限と微分法
「示せ」に答える。増減と凸性を根拠に書く
北大の数学III は、 年で 題（ 題中）を占める最大の分野である。そのうち微分・極限を主題とするものは 年度大問3、 年度大問4、 年度大問3・大問5 の 題。北大の微分法には、はっきりした つの顔がある。
- 解の個数と一意性。 年度は大問3 で「 の異なる実数解の個数」、大問5 で「解が少なくとも つ存在することを示せ」「ただ つであることを示せ」。 存在は中間値の定理、一意性は単調性——この 本立てを答案に書けるかどうか
- 証明そのもの。 年度大問5(2) は「曲線 は下に凸であることを証明せよ」。 年度大問4 は 小問すべてが「示せ」である。 小問中 問（約 ）が証明問題で、その多くがこの分野に集まる
問題冊子には「結果を導く過程を重視するので、必要な計算・論証・説明などを省かずに解答せよ」と明記されている。本章の 題は、 小問のうち 問が「示せ」「証明せよ」を含む。
- 6-1標準連続だが微分できない点20分
- 6-2やや難半円に内接する台形25分
- 6-3やや難 と の共有点25分
- 6-4本番接続凸でない区間をもつ曲線の接線と不等式30分
第7章・数学III
積分法
計算で終わらせない。必ず極限か不等式へつなぐ
積分は北大の看板である。 年で 題（ 年度大問5、 年度大問5、 年度大問5、 年度大問3、 年度大問5、 年度大問3、 年度大問2）。 計算しただけでは終わらないのが北大の積分である。
- 最後に極限をとる。 年度大問5 は面積 の極限、 年度大問3 は を求めてから 、 年度大問2 は を求めてから 。 題中 題が極限で締めくくられ、直近の 年は続けて出ている
- 置きかえと部分積分の反復が要る。 年度大問2 の は、 を定数とみて で積分する。 どの文字で積分しているかを見失わないこと
- 面積は媒介変数表示や文字を含む範囲で問われる（ 年度大問5、 年度大問5）。 範囲と上下関係を確かめてから計算する
本章の 題は、すべて最後の小問が極限である。
- 7-1標準部分分数分解と面積・体積の極限20分
- 7-2やや難 の長さと面積25分
- 7-3やや難 の積分と極限25分
- 7-4本番接続 と 30分
本書の使い方
- 3段階で上げる
- 標準9題・やや難10題・本番接続7題。「本番接続」は北大の実際の大問に近づけた問題で、ここまで解ければ過去問演習に入ってかまいません。
- 手が止まったら
- 問題の下のヒント、解答冒頭の着眼の順に読んで問題に戻ります。解いたあとは、定石でその問題で使った手を整理します。
- 数学III の前から
- 第1章〜第5章（18題）は数学III を使わずに解けます。
- 付録
- 付録A 自分で用意する公式集
- 付録B 定石索引
- 付録C 過去問演習への移行プラン
本書を終えたら：本番形式の予想問題集へ
次に置くのは、同じ著者による本番と同じ形式の予想問題集「合格答案をつくる」シリーズです。 加点・減点つきの採点表で、自分の答案のどこが減点されるかを照合できます。本書の問題とは題材が重複しないように作られています。
北大理系数学 分野別完成演習について、よくある質問
- 北大の数学で頻出の分野は何ですか？
- 本書が2019〜2026年度の出題を分析して選んだ7分野は、場合の数と確率、図形と方程式、三角関数、数列と漸化式、ベクトルと空間図形、複素数平面と平面上の曲線、極限と微分法、積分法です。各分野で北大が何を要求するかは、このページの「分野ごとの出題傾向」で章ごとにまとめています。
- 北大理系数学の問題集は何題で、どれくらいで終わりますか？
- 全26題（小問は計96問）で、目標時間の合計は640分です。1日90分ならおよそ8日でひととおり終わる分量です。
- 数学IIIを学習中でも使えますか？
- 第1章〜第5章の18題は、数学IIIを使わずに解けるように作られています。数学IIIの学習中はこの範囲から取り組めます。
- いつ北大の過去問に進めばよいですか？
- 各章の「本番接続」の問題が自力で完答できるようになったら、過去問演習に進んでかまいません。過去問演習へ移る順序は本書の付録にまとめています。本番形式の訓練は、そのあと過去問と『合格答案をつくる』で行います。
- 過去問がそのまま載っていますか？
- 収録問題はすべて本書のための書き下ろしです。北海道大学の過去問は出題傾向の分析にのみ用い、問題文の転載や改題はしていません。
過去問の前にシリーズ
北大理系数学 分野別完成演習 2027年度対策
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