北大理系数学の出題傾向と対策
北海道大学・理系・2019〜2026年度の分析
形式は8年間不変
試験時間120分（9:00〜11:00），大問5題，完全記述式。 出題範囲は数I・数II・数III・数A・数B・数C。 解答用紙は大問ごとに1枚（計5枚）で，裏面は使用できない。 書ける量に上限があるので，答案は簡潔にまとめる練習が要る。
名古屋大学などと異なり，北大では数学公式集は配布されない。 ，，回転体の体積，曲線の長さ， 和の公式などはすべて自分で用意しておく必要がある。
問題冊子には「解答上の注意」として 「採点時には，結果を導く過程を重視するので，必要な計算・論証・説明などを省かずに解答せよ」 と明記されている。答えだけの答案が評価されないことは，大学側が公言している。
| 年度 | 問1 | 問2 | 問3 | 問4 | 問5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2019 | 空間ベクトルと三角形の内部 | 整数（連続する項の最大公約数） | 分数関数の極値と中点の軌跡 | 確率（2つの箱と得点） | 積分方程式と関数列 |
| 2020 | 平面ベクトルと外接円 | 整数（直線上の格子点） | 確率（最大公約数・最小公倍数） | 数列の極限（単調収束） | 積分方程式と面積の極限 |
| 2021 | 平面ベクトル（対称点・面積） | 放物線の2接線と長さの比 | 指数・対数の最大値 | 連立漸化式と整除性 | 媒介変数表示の曲線と面積 |
| 2022 | 絶対値つき関数の最小 | ベクトルの漸化式 | 領域の図示と面積の最小 | 確率（円順列） | 複素数平面（図示・共通解） |
| 2023 | 複素数平面（円の列と極限） | 空間図形（平面と球面） | 微積分（解の個数・2変数） | 確率（さいころと絶対値の和） | 図形と中間値の定理 |
| 2024 | 媒介変数と軌跡の図示 | 確率（正八面体のさいころ） | 数列と関数列（定積分） | 平面ベクトル（内心） | 対数関数の接線・凸性・面積 |
| 2025 | 数列と対数 | 円の接線と四角形の面積 | 定積分と極限 | 複素数平面（図示・存在条件） | 場合の数と不等式の証明 |
| 2026 | 分数漸化式 | 定積分で定まる関数と極限 | 複素数平面（図示） | 空間座標と体積の最小 | 確率（さいころと期待値） |
「微積分・確率・図形」の3本柱
40題を主たる分野で分類すると，北大の設計がはっきり見える。 微積分でほぼ2題，残り3題を確率・図形・数列・複素数平面・整数から選ぶという構成である。
分野の枠を越えた融合が北大の色である。 「数列＋整数」（2021年度・問4），「数列＋定積分」（2024年度・問3）， 「確率＋整数」（2020年度・問3），「図形＋中間値の定理」（2023年度・問5）—— つの大問の中で つの単元をつなぐ設計が毎年どこかに入る。
| 分野 | 40題中 | 特徴 |
|---|---|---|
| 微分積分（数III中心） | 12 | 毎年1〜2題。面積・体積・曲線の長さ・極限のいずれか |
| 確率・場合の数 | 7 | 出ない年は2021のみ。さいころを使う問題が7題中4題 |
| ベクトル・空間図形 | 7 | 出ない年は2025のみ。平面4題・空間3題 |
| 数列 | 5 | 漸化式が中心。積分や整数との融合が多い |
| 複素数平面 | 4 | 2022年度以降は4年連続で出題 |
| 図形と式・指数対数 | 3 | 領域の図示・最大最小 |
| 整数 | 2 | 2019, 2020のみ。ただし数列との融合を含めれば実質3題 |
小問は2〜3個。誘導は素直で親切
8年間の102小問を数えると，1大問あたり平均2.6問である （2小問が18題，3小問が21題，4小問は2019年度・問2の1題のみ）。 (1) はほぼ確実に取れる基本問題で，(2)(3) がその結果を使って積み上がる。 京大や東大のように「小問なしでいきなり本題」という形はほとんど現れない。
| 型 | 構造と対処 |
|---|---|
| A．道具を作らせる型 | (1) で微分・因数分解・漸化式など道具を作らせ，(2)(3) で使わせる。 (1) の答えの形が (2) で使いやすい形になっているかを必ず確認する。 |
| B．文字定数入りの最大最小 | や を含む式の増減・面積を求め，最後にその文字を動かす。 変数が2つあって条件式で1つに減らす一手間が入る。 |
| C．図示せよ | 8年で5題。複素数平面が3題を占める。境界を含むか否か，除外点があるかで差がつく。 |
| D．示せ（証明） | 102小問中16問（約16%）。整数と数列に集中する。 必要十分条件を求めよという形も年に1度は出る。 |
難易度と目標
北大理系数学は「標準問題を確実に完答させる」設計である。 京大・東大のような発想一発の難問はまず出ないが， 5題×120分＝1題あたり24分という時間はけっして余裕がない。 計算量の多い大問が毎年1〜2題あり，そこで詰まると連鎖的に崩れる。
各年の5題を難易度で分けると，おおむね易1・標準3・やや難1である。 「やや難」に置かれるのは， (a) 最後の小問が評価・証明になっているもの（2025年度・問5，2023年度・問5）， (b) 計算がきわめて重いもの（2021年度・問3，2022年度・問1） のどちらかで，この2種類しかない。
目標は総合入試（理系）で3完＋2半（90点前後），医学部医学科で4完（120点前後）。 5題すべてに手をつけ，各大問の (1) を確実に取るだけで50点近くに届く。 1題に固執して他題の (1) を落とすのが最悪の失敗である。
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