独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問3問・無料

大阪公立大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理系

大阪公立大理系 2025年度数学第4問（図形と方程式・三角関数）の解答・解説

大阪公立大学（大阪公立大理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理系入試の数学第4問（分野：図形と方程式・三角関数）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解・別解です。本問では「点と直線の距離・三角関数の積和・和積の公式・極方程式・媒介変数曲線と直線の交点」を扱います。

出題テーマ：点と直線の距離・三角関数の積和・和積の公式・極方程式・媒介変数曲線と直線の交点当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

大阪公立大理系 2025年度数学第4問の設問構成・解答方針（全3問）

問1の解答・解説へ別解あり
$O (0, 0), P (1, 0), Q (cos α, sin α) (0 < α < π)$ に対し、点 $O$ と直線 $PQ$ の距離を $α$ の式で表す
問2の解答・解説へ
$f (θ) = 2 cos θ - 1$ とするとき、等式 $f (θ) cos (θ - \frac{α}{2}) = cos \frac{α}{2} - 2 sin \frac{θ}{2} sin \frac{3 θ - α}{2}$ を示す
問3の解答・解説へ図解あり
媒介変数 $t (0 < t < \frac{π}{3})$ で $x = f (t) cos t, y = f (t) sin t$ と表される曲線 $C$ と直線 $PQ$ は1点のみを共有することを示し、共有点 $R$ に対して $∠ POR$ を $α$ の式で表す

問1 $O (0, 0), P (1, 0), Q (cos α, sin α) (0 < α < π)$ に対し、点 $O$ と直線 $PQ$ の距離を $α$ の式で表す

答 $cos \frac{α}{2}$

$OP = OQ = 1$ より $△ OPQ$ は頂角 $∠ POQ = α$ の二等辺三角形である。

$OP = OQ = 1$ かつ $∠ POQ = α (0 < α < π)$ であるから、 $△ OPQ$ は二等辺三角形である。原点 $O$ から直線 $PQ$ におろした垂線の足を $H$ とすると、 $H$ は線分 $PQ$ の中点であり、 $∠ POH = \frac{α}{2} (0 < \frac{α}{2} < \frac{π}{2})$ となる。

よって直角三角形 $OPH$ において、求める距離 $OH$ は

OH = OP cos \frac{α}{2} = cos \frac{α}{2}

である。

$α = \frac{π}{2}$ のとき直線 $x + y = 1$ と原点の距離は $\frac{1}{2} = cos \frac{π}{4}$ 。

▸ 別解：直線

PQ

の法線標準形を用いる別解

線分 $PQ$ の中点の方向ベクトルは $(cos \frac{α}{2}, sin \frac{α}{2})$ であり、 $PQ$ に垂直だから、点 $P (1, 0)$ を通る直線 $PQ$ の方程式は $x cos \frac{α}{2} + y sin \frac{α}{2} = cos \frac{α}{2}$ である。 $0 < \frac{α}{2} < \frac{π}{2}$ より $cos \frac{α}{2} > 0$ だから、原点との距離は $cos \frac{α}{2}$ となる。

問2 $f (θ) = 2 cos θ - 1$ とするとき、等式 $f (θ) cos (θ - \frac{α}{2}) = cos \frac{α}{2} - 2 sin \frac{θ}{2} sin \frac{3 θ - α}{2}$ を示す

答 $2 cos θ cos (θ - \frac{α}{2}) = cos (2 θ - \frac{α}{2}) + cos \frac{α}{2}$ と積和の公式を使い、 $cos (2 θ - \frac{α}{2}) - cos (θ - \frac{α}{2})$ に和積の公式を適用して示される

左辺を展開し、 $2 cos θ cos (θ - \frac{α}{2})$ に積和の公式、残った余弦の差に和積の公式を使う。

積和の公式より

2 cos θ cos (θ - \frac{α}{2}) = cos (2 θ - \frac{α}{2}) + cos \frac{α}{2}

であるから、左辺を展開すると

f (θ) cos (θ - \frac{α}{2}) = 2 cos θ cos (θ - \frac{α}{2}) - cos (θ - \frac{α}{2}) = cos \frac{α}{2} + cos (2 θ - \frac{α}{2}) - cos (θ - \frac{α}{2})

となる。さらに余弦の差の和積の公式 $cos A - cos B = - 2 sin \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$ を第2・第3項に適用すると

cos (2 θ - \frac{α}{2}) - cos (θ - \frac{α}{2}) = - 2 sin \frac{3 θ - α}{2} sin \frac{θ}{2}

であるから、題意の等式

f (θ) cos (θ - \frac{α}{2}) = cos \frac{α}{2} - 2 sin \frac{θ}{2} sin \frac{3 θ - α}{2}

が成り立つ。 $■$

右辺の $2 sin \frac{θ}{2} sin \frac{3 θ - α}{2}$ を逆に積和で $cos (θ - \frac{α}{2}) - cos (2 θ - \frac{α}{2})$ に戻しても同じ行数の計算で示せる。

問3媒介変数 $t (0 < t < \frac{π}{3})$ で $x = f (t) cos t, y = f (t) sin t$ と表される曲線 $C$ と直線 $PQ$ は1点のみを共有することを示し、共有点 $R$ に対して $∠ POR$ を $α$ の式で表す

答 $t = \frac{α}{3}$ のただ1点で交わり、 $∠ POR = \frac{α}{3}$

直線 $PQ$ の方程式 $x cos \frac{α}{2} + y sin \frac{α}{2} = cos \frac{α}{2}$ に曲線 $C$ の式を代入すると、ちょうど問2の等式から $sin \frac{t}{2} sin \frac{3 t - α}{2} = 0$ が得られる。

問1より、原点 $O$ から直線 $PQ$ におろした垂線の足 $H$ は偏角 $\frac{α}{2}$ 、原点からの距離 $cos \frac{α}{2}$ の点であるから、直線 $PQ$ の方程式は

x cos \frac{α}{2} + y sin \frac{α}{2} = cos \frac{α}{2}

である。これに曲線 $C$ 上の点 $(x, y) = (f (t) cos t, f (t) sin t)$ を代入すると、加法定理より

f (t) (cos t cos \frac{α}{2} + sin t sin \frac{α}{2}) = cos \frac{α}{2} ⟺ f (t) cos (t - \frac{α}{2}) = cos \frac{α}{2}

となる。問2の等式を用いると、この方程式は

2 sin \frac{t}{2} sin \frac{3 t - α}{2} = 0

と同値である。ここで $0 < t < \frac{π}{3}, 0 < α < π$ より

0 < \frac{t}{2} < \frac{π}{6}, - \frac{π}{2} < - \frac{α}{2} < \frac{3 t - α}{2} < \frac{π - α}{2} < \frac{π}{2}

であるから、 $sin \frac{t}{2} > 0$ であり、 $sin \frac{3 t - α}{2} = 0$ となるのは

\frac{3 t - α}{2} = 0 ⟺ t = \frac{α}{3}

のときに限られる（ $0 < α < π$ より $0 < \frac{α}{3} < \frac{π}{3}$ を満たす）。また $0 < t_{1} < t_{2} < \frac{π}{3}$ に対して偏角 $t$ が異なる（かつ $f (t) = 2 cos t - 1 > 0$ ）ため、曲線 $C$ は自己交差をもたない。よって曲線 $C$ と直線 $PQ$ は $t = \frac{α}{3}$ に対応するただ1点 $R$ のみを共有する。 $■$

さらに $t = \frac{α}{3} \in (0, \frac{π}{3})$ において $f (\frac{α}{3}) = 2 cos \frac{α}{3} - 1 > 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 0$ であるから、共有点 $R (f (\frac{α}{3}) cos \frac{α}{3}, f (\frac{α}{3}) sin \frac{α}{3})$ の動径は原点から偏角 $\frac{α}{3}$ の半直線上にある。 $P (1, 0)$ は $x$ 軸の正の部分にあるから

∠ POR = \frac{α}{3}

である。

曲線

C : r = 2 cos t - 1 (0 < t < π /3)

と直線

PQ

（

α = 2 π /3

の例）。共有点

R

の偏角は

∠ POR = α /3

となり、曲線

C

は一般角

α

の三等分線を与える曲線（パスカルの蝸牛線の一部）になっている。

この曲線 $r = 2 cos t - 1$ は角の三等分に用いられる有名な曲線（リマソン）である。

$r = f (t)$ が正であることを確認しないと、偏角 $t$ がそのまま $∠ POR$ になるとは言えない（もし $f (t) < 0$ なら偏角は $t + π$ になる）。 $0 < t < \frac{π}{3}$ より $f (t) = 2 cos t - 1 > 0$ を必ず一言添える。

2025年度の全4問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

第4問（図形と方程式・三角関数）を解き終えた方へ

大阪公立大理系数学の「図形と方程式・三角関数」と本番形式を、さらに演習する

大阪公立大理系数学の出題分析（2022〜2026年度（5年分））では、「図形（空間ベクトル・座標）」が2題出題されています。この大問で扱った点と直線の距離・三角関数の積和・和積の公式・極方程式・媒介変数曲線と直線の交点のような論証・計算を、本番の試験時間（120分）で書き切る練習が得点源に直結します。

同じ分野・テーマの他大学過去問で類題演習する（無料解説）

本番形式の予想問題集（採点基準・別解つき）

合格答案をつくる大阪公立大理系数学 2027

大阪公立大理系数学の出題傾向と頻出分野を分析して書き下ろした予想問題集です（過去問の転載ではありません）。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る公式書店で見る無料サンプルPDF（4ページ）収録内容を見る

¥2,695・128ページ・2026年8月30日発売

『合格答案をつくる大阪公立大理系数学 2027』の中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。印刷して解きたい方はPDF版をご利用ください。

無料サンプルPDF（4ページ）を開く公式書店で詳細を見る

大阪公立大理系数学の関連メニュー

大阪公立大理系数学の傾向と対策（総合案内ページ）— 年度別・分野別の出題分析、目標点、段階別対策を1ページで確認できます。
大阪公立大理系数学の過去問解説一覧— 他の年度の解答・解説をまとめて読む。
数学記述模試『入試プレビュー』（PDF即ダウンロード）— 問題・解答解説・採点基準つきPDFをその場で入手して実戦演習できます。

問題文について

問1O(0,0), P(1,0), Q(cosα,sinα) (0<α<π) に対し、点 O と直線 PQ の距離を α の式で表す

問2f(θ)=2cosθ−1 とするとき、等式 f(θ)cos(θ−2α​)=cos2α​−2sin2θ​sin23θ−α​ を示す

問3媒介変数 t (0<t<3π​) で x=f(t)cost, y=f(t)sint と表される曲線 C と直線 PQ は1点のみを共有することを示し、共有点 R に対して ∠POR を α の式で表す