独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問2問・無料

東北大学　2022年度　前期日程　文系

第3問図形と方程式の解答・解説

点と直線の距離・領域の図示・線形計画法・円に接する直線当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1) $a, b$ を正の実数とし、 $x y$ 平面上の直線 $ℓ : a x + b y - 2 = 0$ を考える。直線 $ℓ$ と原点の距離が $2$ 以上であり、直線 $ℓ$ と直線 $x = 1$ の交点の $y$ 座標が $2$ 以上であるような点 $(a, b)$ のとりうる範囲 $D$ を求め、 $ab$ 平面上に図示する

答 $D : a > 0, b > 0, a^{2} + b^{2} ≦ 1, a + 2 b ≦ 2$

2つの条件をそれぞれ $a, b$ の式に直す。点と直線の距離の公式と、 $x = 1$ を代入するだけ。分母を払うときに $b > 0$ が効く。

条件1。 原点と $ℓ$ の距離は

\frac{∣ a \cdot 0 + b \cdot 0 - 2 ∣}{a ^{2} + b ^{2}} = \frac{2}{a ^{2} + b ^{2}}

である。これが $2$ 以上という条件は

\frac{2}{a ^{2} + b ^{2}} ≧ 2 ⟺ a^{2} + b^{2} ≦ 1 ⟺ a^{2} + b^{2} ≦ 1

である。

条件2。 $ℓ$ に $x = 1$ を代入すると $a + b y - 2 = 0$ 、すなわち $y = \frac{2 - a}{b}$ である（ $b > 0$ なので割れる）。これが $2$ 以上という条件は

\frac{2 - a}{b} ≧ 2 ⟺ 2 - a ≧ 2 b ⟺ a + 2 b ≦ 2

である（ $b > 0$ なので不等号の向きは変わらない）。

以上より

D = {(a, b) a > 0, b > 0, a^{2} + b^{2} ≦ 1, a + 2 b ≦ 2}

である。円 $a^{2} + b^{2} = 1$ と直線 $a + 2 b = 2$ の交点を求めると、 $a = 2 - 2 b$ を代入して

(2 - 2 b)^{2} + b^{2} = 1, 5 b^{2} - 8 b + 3 = 0, (5 b - 3) (b - 1) = 0

より $b = \frac{3}{5}$ （このとき $a = \frac{4}{5}$ ）または $b = 1$ （このとき $a = 0$ で $a > 0$ に反する）である。したがって $D$ の境界は、 $(0, 1)$ から $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ までは直線 $a + 2 b = 2$ 、そこから $(1, 0)$ までは円 $a^{2} + b^{2} = 1$ になる（ $a$ 軸・ $b$ 軸上は含まない）。

網かけが D（a 軸・b 軸上は含まない）。左上のまっすぐな境界が直線 a + 2b = 2、右下のふくらんだ境界が円 a² + b² = 1 で、(4/5, 3/5) でつながる。破線は (2) で最大になるときの直線 3a + 2b = √13 で、円に接している。

$a, b$ を $0.005$ 刻みで走査すると、もとの2条件と $(a^{2} + b^{2} ≦ 1 かつ a + 2 b ≦ 2)$ が完全に一致した。

$\frac{2 - a}{b} ≧ 2$ の両辺に $b$ を掛けるとき、 $b > 0$ が効いている。符号が分からなければ掛けられない。

$a^{2} + b^{2} ≦ 1$ だけでは $a + 2 b ≦ 2$ は出ない（コーシー・シュワルツから $a + 2 b ≦ 5$ までしか言えない）。両方必要である。

(2)点 $(a, b)$ が (1) で求めた範囲 $D$ を動くとき、 $3 a + 2 b$ を最大にする $a, b$ の値と、 $3 a + 2 b$ の最大値を求める

答 $a = \frac{3 13}{13}$ 、 $b = \frac{2 13}{13}$ のとき最大値 $13$

$3 a + 2 b = k$ は傾き $- \frac{3}{2}$ の直線の束。 $k$ を大きくすると直線は右上に動くので、 $D$ と接する（最後に触れる）ところが最大。円のほうに接するか、角 $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ でとまるかを見分ける。

$3 a + 2 b = k$ とおく。これは傾き $- \frac{3}{2}$ の直線で、 $k$ が大きいほど右上にある。 $D$ と共有点をもつ範囲で $k$ を最大にしたい。

まず円に接する場合を調べる。 円 $a^{2} + b^{2} = 1$ と直線 $3 a + 2 b = k$ が接する条件は、中心 $(0, 0)$ との距離が $1$ になることなので

\frac{∣ k ∣}{3 ^{2} + 2 ^{2}} = 1, k = \pm 13

である。 $k = 13$ のときの接点は、中心から法線ベクトル $(3, 2)$ の向きに半径 $1$ だけ進んだ点

(a, b) = (\frac{3}{13}, \frac{2}{13}) = (\frac{3 13}{13}, \frac{2 13}{13})

である。

この接点が $D$ に入っているかを確かめる。 $a > 0$ 、 $b > 0$ は明らかである。 $a + 2 b ≦ 2$ については

a + 2 b = \frac{3}{13} + \frac{4}{13} = \frac{7}{13} = \frac{7 13}{13}

で、 $\frac{7}{13} ≦ 2 ⟺ 7 ≦ 213 = 52$ 、 $49 ≦ 52$ ✓ なので満たしている。

接点が $D$ に含まれているので、 $k = 13$ は実現できる。また $D$ は円 $a^{2} + b^{2} ≦ 1$ に含まれているので、 $D$ 上では

3 a + 2 b ≦ 3^{2} + 2^{2} a^{2} + b^{2} ≦ 13

（コーシー・シュワルツの不等式）であり、 $13$ を超えることはない。よって最大値は $13$ で、そのときの $a, b$ は上の接点である。

a = \frac{3 13}{13}, b = \frac{2 13}{13}, (3 a + 2 b)_{m a x} = 13

もし接点が $a + 2 b ≦ 2$ を外れていたら、最大は角 $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ でとり、 $3 \cdot \frac{4}{5} + 2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{18}{5} = 3.6$ になるところだった。実際 $13 = 3.6055 \dots$ とわずかに大きい。接点が領域に入っているかの確認が欠かせない。

格子探索での最大は $3.605500$ （ $a = 0.8295$ 、 $b = 0.5585$ ）で、 $13 = 3.605551$ とほぼ一致した。

円に接する点が、もう1つの条件 $a + 2 b ≦ 2$ を満たしているかを必ず確かめる。満たしていなければ答えは角の点になる。

$k = - 13$ のほうは第3象限側の接点なので、 $a, b > 0$ では関係ない。

2022年度の全4問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる東北大文系数学 2027

東北大文系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る収録内容を見る¥2,695・100ページ・2026年8月16日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(1)a,b を正の実数とし、xy 平面上の直線 ℓ:ax+by−2=0 を考える。直線 ℓ と原点の距離が 2 以上であり、直線 ℓ と直線 x=1 の交点の y 座標が 2 以上であるような点 (a,b) のとりうる範囲 D を求め、ab 平面上に図示する

(2)点 (a,b) が (1) で求めた範囲 D を動くとき、3a+2b を最大にする a,b の値と、3a+2b の最大値を求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(2)点 $(a, b)$ が (1) で求めた範囲 $D$ を動くとき、 $3 a + 2 b$ を最大にする $a, b$ の値と、 $3 a + 2 b$ の最大値を求める