第4問 空間ベクトルの解答・解説

平面 $\mathrm{OAB}$ の法線ベクトルを $\vec{n}=\left(p,q,r\right)$ とすると

である。2つめより $r=\sqrt{3}p$。1つめに代入して $p+\sqrt{2}q+3p=0$、すなわち $q=-\frac{4p}{\sqrt{2}}=-2\sqrt{2}p$ である。$p=\sqrt{2}$ ととると

である。

平面 $\mathrm{OAB}$ は $\mathrm{O}$ を通る。平面からの距離が $1$ の点全体は、平面の両側にある2枚の平行な平面である。そのうち $\mathrm{O}$ に最も近い点は、$\mathrm{O}$ から法線方向に長さ $1$ だけ進んだ2点

である（$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$、$\frac{-4}{2\sqrt{6}}=\frac{-2}{\sqrt{6}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$、$\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{6}}=\frac{1}{2}$）。どちらも $\mathrm{O}$ からの距離は $1$ で等しいので、$x$ 座標が正という条件で

に決まる。

$\vec{n}=\left(\sqrt{2},-4,\sqrt{6}\right)$、$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\left(\sqrt{6},-\sqrt{3},\sqrt{2}\right)$ なので

である（$\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$）。よって距離は

である。

${\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2=1+2+3=6$、${\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|}^2=3+0+1=4$、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-\sqrt{3}+0+\sqrt{3}=0$ なので、$△\mathrm{OAB}$ は $\mathrm{O}$ が直角の直角三角形である。したがって

である（これは $\frac{\left|\vec{n}\right|}{2}=\frac{2\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}$ とも一致する）。(2) より高さは $2\sqrt{2}$ なので

である。

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ になっているのは問題の仕掛けで、底面積が一瞬で出る。気づかなくても $\frac{\left|\vec{n}\right|}{2}$ で同じ値になる。