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東北大学　2022年度　前期日程　文系

第2問積分法の解答・解説

絶対値のついた定積分・場合分け・3次関数の増減・最小値当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1)実数 $t$ の関数 $F (t) = \int_{0}^{1} x^{2} - t^{2} d x$ について、 $0 ≦ t ≦ 1$ のとき $F (t)$ を $t$ の整式として表す

答 $F (t) = \frac{4}{3} t^{3} - t^{2} + \frac{1}{3}$

$0 ≦ t ≦ 1$ では、積分区間 $[0, 1]$ の中に $x = t$ が入る。そこで絶対値が外れる符号が変わるので、 $x = t$ で分けて積分する。

$x^{2} - t^{2} = (x - t) (x + t)$ で、 $0 ≦ x ≦ 1$ 、 $0 ≦ t ≦ 1$ のとき $x + t ≧ 0$ だから、符号は $x - t$ で決まる。

$0 ≦ x ≦ t$ ： $x^{2} - t^{2} = t^{2} - x^{2}$
$t ≦ x ≦ 1$ ： $x^{2} - t^{2} = x^{2} - t^{2}$

である。それぞれ積分すると

\int_{0}^{t} (t^{2} - x^{2}) d x = [t^{2} x - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{t} = t^{3} - \frac{t ^{3}}{3} = \frac{2 t ^{3}}{3}

と

\int_{t}^{1} (x^{2} - t^{2}) d x = [\frac{x ^{3}}{3} - t^{2} x]_{t}^{1} = (\frac{1}{3} - t^{2}) - (\frac{t ^{3}}{3} - t^{3}) = \frac{1}{3} - t^{2} + \frac{2 t ^{3}}{3}

である。足し合わせて

F (t) = \frac{2 t ^{3}}{3} + \frac{1}{3} - t^{2} + \frac{2 t ^{3}}{3} = \frac{4}{3} t^{3} - t^{2} + \frac{1}{3}

である。

$t = 0.2$ では数値積分が $0.304000000$ で、式の値も $0.304000000$ だった。

$x + t ≧ 0$ を確認してから、符号を $x - t$ だけで判断する。

(2) $t ≧ 0$ のとき、 $F (t)$ を最小にする $t$ の値 $T$ と $F (T)$ の値を求める

答 $T = \frac{1}{2}$ 、 $F (T) = \frac{1}{4}$

$t > 1$ では $x = t$ が積分区間の外に出るので、絶対値がそのまま外れて別の式になる。 $0 ≦ t ≦ 1$ と $t ≧ 1$ に分けて増減を調べる。

$t ≧ 1$ のとき。 $0 ≦ x ≦ 1 ≦ t$ なので $x^{2} - t^{2} = t^{2} - x^{2}$ である。したがって

F (t) = \int_{0}^{1} (t^{2} - x^{2}) d x = t^{2} - \frac{1}{3}

である。これは $t ≧ 1$ で増加するので、この範囲での最小は $t = 1$ での $\frac{2}{3}$ である。

$0 ≦ t ≦ 1$ のとき。 (1) より $F (t) = \frac{4}{3} t^{3} - t^{2} + \frac{1}{3}$ で

F^{'} (t) = 4 t^{2} - 2 t = 2 t (2 t - 1)

である。増減は

$0 < t < \frac{1}{2}$ ： $F^{'} (t) < 0$ で減少
$\frac{1}{2} < t < 1$ ： $F^{'} (t) > 0$ で増加

なので、 $t = \frac{1}{2}$ で最小になる。値は

F (\frac{1}{2}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{2 - 3 + 4}{12} = \frac{1}{4}

である。 $\frac{1}{4} < \frac{2}{3}$ なので、 $t ≧ 0$ 全体での最小もここである。よって

T = \frac{1}{2}, F (T) = \frac{1}{4}

である。

F(t) のグラフ（t ≧ 0）。0 ≦ t ≦ 1 では 3次式、t ≧ 1 では t² - 1/3 になる。t = 1/2 でいちばん低くなり、そのときの値は 1/4。

$F (t)$ は「 $y = x^{2}$ と $y = t^{2}$ のあいだの面積（ $0 ≦ x ≦ 1$ ）」である。 $t$ を大きくしていくと、はじめは水平線が曲線に近づくので面積は減るが、 $t$ が大きすぎると今度は離れていく。その折り返しが $t = \frac{1}{2}$ である。

$t$ を $0$ から $3$ まで $1 0^{- 5}$ 刻みで動かすと、最小は $t = 0.5$ での $0.250000000$ だった。

$t > 1$ の場合を忘れない。(1) の式は $0 ≦ t ≦ 1$ でしか使えない。

$t = 0$ は $F^{'} (0) = 0$ だが極小ではない（ $t ≧ 0$ の端点）。 $t = \frac{1}{2}$ と比べて小さいほうを選ぶ。

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(1)実数 t の関数 F(t)=∫01​​x2−t2​dx について、0≦t≦1 のとき F(t) を t の整式として表す

(2)t≧0 のとき、F(t) を最小にする t の値 T と F(T) の値を求める

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