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東北大学　2022年度　前期日程　文系

東北大文系 2022年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　場合の数

奇数の置き換え・重複組合せ・余事象・2次不等式当サイトの体感難易度：標準

(1) $K$ を $3$ より大きな奇数とし、 $l + m + n = K$ を満たす正の奇数の組 $(l, m, n)$ （順序を区別する）の個数を $N$ とするとき、 $K = 99$ での $N$ を求める

答 $N = 1225$

正の奇数は $2 a - 1$ （ $a$ は正の整数）と書ける。3つとも置き換えると、条件は「正の整数 $a, b, c$ の和が一定」という重複組合せの標準形になる。

$l = 2 a - 1$ 、 $m = 2 b - 1$ 、 $n = 2 c - 1$ （ $a, b, c$ は正の整数）とおくと

l + m + n = 2 (a + b + c) - 3 = K, a + b + c = \frac{K + 3}{2}

である（ $K$ は奇数なので $\frac{K + 3}{2}$ は整数）。 $(l, m, n)$ と $(a, b, c)$ は1対1に対応するので、 $N$ は「和が $\frac{K + 3}{2}$ である正の整数の組 $(a, b, c)$ の個数」である。

和が $M$ の正の整数3つの組の個数は、 $M - 1$ 個の仕切りの位置から2つ選ぶと考えて $_{M - 1} C_{2}$ である。 $K = 99$ なら $M = 51$ なので

N =_{50} C_{2} = \frac{50 \cdot 49}{2} = 1225

である。

一般には $M = \frac{K + 3}{2}$ より $N =_{\frac{K + 1}{2}} C_{2} = \frac{\frac{K + 1}{2} \cdot \frac{K - 1}{2}}{2} = \frac{K ^{2} - 1}{8}$ である。(3) で使う。

$K = 99$ で $(l, m)$ を全探索すると $1225$ 通りだった。 $K = 5$ なら $\frac{25 - 1}{8} = 3$ で、 $(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1)$ の3通りと合う。

順序を区別するので、 $(1, 1, 3)$ と $(1, 3, 1)$ を別に数える。重複組合せの公式がそのまま使える。

(2) $K = 99$ のとき、 $l, m, n$ の中に同じ奇数を2つ以上含む組 $(l, m, n)$ の個数を求める

答 $73$ 個

「3つとも同じ」と「ちょうど2つが同じ」に分けて数える。(1) の置き換えで $a + b + c = 51$ に直してから数えるほうが式が軽い。

(1) の置き換えで $a + b + c = 51$ （ $a, b, c$ は正の整数）として数える。 $l, m, n$ が等しいことと $a, b, c$ が等しいことは同じである。

3つとも同じ。 $3 a = 51$ より $a = b = c = 17$ の1通り（ $l = m = n = 33$ ）。

ちょうど2つが同じ。 等しい2つの値を $a$ 、残りを $c$ とすると $2 a + c = 51$ 、 $c \neq = a$ である。 $a ≧ 1$ 、 $c = 51 - 2 a ≧ 1$ より $1 ≦ a ≦ 25$ の $25$ 通りあり、このうち $c = a$ となるのは $51 - 2 a = a$ 、つまり $a = 17$ の1通りだから、 $a$ の選び方は $24$ 通りである。

どの位置に「ちがう値」が来るかで3通りあるので、 $3 \times 24 = 72$ 通りである。

以上より、求める個数は

1 + 72 = 73 個

である。

3つとも相異なるのは $1225 - 73 = 1152$ 個で、 $1152 = 6 \times 192$ だから、順序を無視した相異なる3数の組は $192$ 通りである。

$K = 99$ の全列挙で $73$ 通りだった。

「2つ以上」なので、3つとも同じ場合も含む。「ちょうど2つ」で数えてから足す。

$2 a + c = 51$ で $c = a$ になる $a = 17$ を除く。除かないと「3つとも同じ」を二重に数える。

(3) $N > K$ を満たす最小の $K$ を求める

答 $K = 9$

(1) の注で得た $N = \frac{K ^{2} - 1}{8}$ を使う。 $N > K$ は2次不等式になり、 $K$ が $3$ より大きい奇数であることから候補が決まる。

(1) より一般に

N =_{\frac{K + 1}{2}} C_{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{K + 1}{2} \cdot \frac{K - 1}{2} = \frac{K ^{2} - 1}{8}

である。 $N > K$ は

K^{2} - 1 > 8 K, K^{2} - 8 K - 1 > 0

と同値である。 $K^{2} - 8 K - 1 = 0$ の解は $K = 4 \pm 17$ で、 $K > 0$ だから条件は

K > 4 + 17 = 8.12 \dots

である（ $4 < 17 < 4.2$ は $16 < 17 < 17.64$ から）。 $K$ は $3$ より大きい奇数なので、これを満たす最小の $K$ は

K = 9

である。実際 $K = 9$ では $N = \frac{80}{8} = 10 > 9$ 、 $K = 7$ では $N = \frac{48}{8} = 6 < 7$ である。

$K = 5, 7$ では $N < K$ 、 $K = 9, 11$ では $N > K$ だった。

$K$ は奇数なので $8.12 \dots$ の次は $9$ 。整数というだけなら $9$ だが、偶数が候補に入らないことも確認する。

第1問だけのページ

第2問　積分法

絶対値のついた定積分・場合分け・3次関数の増減・最小値当サイトの体感難易度：標準

(1)実数 $t$ の関数 $F (t) = \int_{0}^{1} x^{2} - t^{2} d x$ について、 $0 ≦ t ≦ 1$ のとき $F (t)$ を $t$ の整式として表す

答 $F (t) = \frac{4}{3} t^{3} - t^{2} + \frac{1}{3}$

$0 ≦ t ≦ 1$ では、積分区間 $[0, 1]$ の中に $x = t$ が入る。そこで絶対値が外れる符号が変わるので、 $x = t$ で分けて積分する。

$x^{2} - t^{2} = (x - t) (x + t)$ で、 $0 ≦ x ≦ 1$ 、 $0 ≦ t ≦ 1$ のとき $x + t ≧ 0$ だから、符号は $x - t$ で決まる。

$0 ≦ x ≦ t$ ： $x^{2} - t^{2} = t^{2} - x^{2}$
$t ≦ x ≦ 1$ ： $x^{2} - t^{2} = x^{2} - t^{2}$

である。それぞれ積分すると

\int_{0}^{t} (t^{2} - x^{2}) d x = [t^{2} x - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{t} = t^{3} - \frac{t ^{3}}{3} = \frac{2 t ^{3}}{3}

と

\int_{t}^{1} (x^{2} - t^{2}) d x = [\frac{x ^{3}}{3} - t^{2} x]_{t}^{1} = (\frac{1}{3} - t^{2}) - (\frac{t ^{3}}{3} - t^{3}) = \frac{1}{3} - t^{2} + \frac{2 t ^{3}}{3}

である。足し合わせて

F (t) = \frac{2 t ^{3}}{3} + \frac{1}{3} - t^{2} + \frac{2 t ^{3}}{3} = \frac{4}{3} t^{3} - t^{2} + \frac{1}{3}

である。

$t = 0.2$ では数値積分が $0.304000000$ で、式の値も $0.304000000$ だった。

$x + t ≧ 0$ を確認してから、符号を $x - t$ だけで判断する。

(2) $t ≧ 0$ のとき、 $F (t)$ を最小にする $t$ の値 $T$ と $F (T)$ の値を求める

答 $T = \frac{1}{2}$ 、 $F (T) = \frac{1}{4}$

$t > 1$ では $x = t$ が積分区間の外に出るので、絶対値がそのまま外れて別の式になる。 $0 ≦ t ≦ 1$ と $t ≧ 1$ に分けて増減を調べる。

$t ≧ 1$ のとき。 $0 ≦ x ≦ 1 ≦ t$ なので $x^{2} - t^{2} = t^{2} - x^{2}$ である。したがって

F (t) = \int_{0}^{1} (t^{2} - x^{2}) d x = t^{2} - \frac{1}{3}

である。これは $t ≧ 1$ で増加するので、この範囲での最小は $t = 1$ での $\frac{2}{3}$ である。

$0 ≦ t ≦ 1$ のとき。 (1) より $F (t) = \frac{4}{3} t^{3} - t^{2} + \frac{1}{3}$ で

F^{'} (t) = 4 t^{2} - 2 t = 2 t (2 t - 1)

である。増減は

$0 < t < \frac{1}{2}$ ： $F^{'} (t) < 0$ で減少
$\frac{1}{2} < t < 1$ ： $F^{'} (t) > 0$ で増加

なので、 $t = \frac{1}{2}$ で最小になる。値は

F (\frac{1}{2}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{2 - 3 + 4}{12} = \frac{1}{4}

である。 $\frac{1}{4} < \frac{2}{3}$ なので、 $t ≧ 0$ 全体での最小もここである。よって

T = \frac{1}{2}, F (T) = \frac{1}{4}

である。

F(t) のグラフ（t ≧ 0）。0 ≦ t ≦ 1 では 3次式、t ≧ 1 では t² - 1/3 になる。t = 1/2 でいちばん低くなり、そのときの値は 1/4。

$F (t)$ は「 $y = x^{2}$ と $y = t^{2}$ のあいだの面積（ $0 ≦ x ≦ 1$ ）」である。 $t$ を大きくしていくと、はじめは水平線が曲線に近づくので面積は減るが、 $t$ が大きすぎると今度は離れていく。その折り返しが $t = \frac{1}{2}$ である。

$t$ を $0$ から $3$ まで $1 0^{- 5}$ 刻みで動かすと、最小は $t = 0.5$ での $0.250000000$ だった。

$t > 1$ の場合を忘れない。(1) の式は $0 ≦ t ≦ 1$ でしか使えない。

$t = 0$ は $F^{'} (0) = 0$ だが極小ではない（ $t ≧ 0$ の端点）。 $t = \frac{1}{2}$ と比べて小さいほうを選ぶ。

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第3問　図形と方程式

点と直線の距離・領域の図示・線形計画法・円に接する直線当サイトの体感難易度：標準

(1) $a, b$ を正の実数とし、 $x y$ 平面上の直線 $ℓ : a x + b y - 2 = 0$ を考える。直線 $ℓ$ と原点の距離が $2$ 以上であり、直線 $ℓ$ と直線 $x = 1$ の交点の $y$ 座標が $2$ 以上であるような点 $(a, b)$ のとりうる範囲 $D$ を求め、 $ab$ 平面上に図示する

答 $D : a > 0, b > 0, a^{2} + b^{2} ≦ 1, a + 2 b ≦ 2$

2つの条件をそれぞれ $a, b$ の式に直す。点と直線の距離の公式と、 $x = 1$ を代入するだけ。分母を払うときに $b > 0$ が効く。

条件1。 原点と $ℓ$ の距離は

\frac{∣ a \cdot 0 + b \cdot 0 - 2 ∣}{a ^{2} + b ^{2}} = \frac{2}{a ^{2} + b ^{2}}

である。これが $2$ 以上という条件は

\frac{2}{a ^{2} + b ^{2}} ≧ 2 ⟺ a^{2} + b^{2} ≦ 1 ⟺ a^{2} + b^{2} ≦ 1

である。

条件2。 $ℓ$ に $x = 1$ を代入すると $a + b y - 2 = 0$ 、すなわち $y = \frac{2 - a}{b}$ である（ $b > 0$ なので割れる）。これが $2$ 以上という条件は

\frac{2 - a}{b} ≧ 2 ⟺ 2 - a ≧ 2 b ⟺ a + 2 b ≦ 2

である（ $b > 0$ なので不等号の向きは変わらない）。

以上より

D = {(a, b) a > 0, b > 0, a^{2} + b^{2} ≦ 1, a + 2 b ≦ 2}

である。円 $a^{2} + b^{2} = 1$ と直線 $a + 2 b = 2$ の交点を求めると、 $a = 2 - 2 b$ を代入して

(2 - 2 b)^{2} + b^{2} = 1, 5 b^{2} - 8 b + 3 = 0, (5 b - 3) (b - 1) = 0

より $b = \frac{3}{5}$ （このとき $a = \frac{4}{5}$ ）または $b = 1$ （このとき $a = 0$ で $a > 0$ に反する）である。したがって $D$ の境界は、 $(0, 1)$ から $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ までは直線 $a + 2 b = 2$ 、そこから $(1, 0)$ までは円 $a^{2} + b^{2} = 1$ になる（ $a$ 軸・ $b$ 軸上は含まない）。

網かけが D（a 軸・b 軸上は含まない）。左上のまっすぐな境界が直線 a + 2b = 2、右下のふくらんだ境界が円 a² + b² = 1 で、(4/5, 3/5) でつながる。破線は (2) で最大になるときの直線 3a + 2b = √13 で、円に接している。

$a, b$ を $0.005$ 刻みで走査すると、もとの2条件と $(a^{2} + b^{2} ≦ 1 かつ a + 2 b ≦ 2)$ が完全に一致した。

$\frac{2 - a}{b} ≧ 2$ の両辺に $b$ を掛けるとき、 $b > 0$ が効いている。符号が分からなければ掛けられない。

$a^{2} + b^{2} ≦ 1$ だけでは $a + 2 b ≦ 2$ は出ない（コーシー・シュワルツから $a + 2 b ≦ 5$ までしか言えない）。両方必要である。

(2)点 $(a, b)$ が (1) で求めた範囲 $D$ を動くとき、 $3 a + 2 b$ を最大にする $a, b$ の値と、 $3 a + 2 b$ の最大値を求める

答 $a = \frac{3 13}{13}$ 、 $b = \frac{2 13}{13}$ のとき最大値 $13$

$3 a + 2 b = k$ は傾き $- \frac{3}{2}$ の直線の束。 $k$ を大きくすると直線は右上に動くので、 $D$ と接する（最後に触れる）ところが最大。円のほうに接するか、角 $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ でとまるかを見分ける。

$3 a + 2 b = k$ とおく。これは傾き $- \frac{3}{2}$ の直線で、 $k$ が大きいほど右上にある。 $D$ と共有点をもつ範囲で $k$ を最大にしたい。

まず円に接する場合を調べる。 円 $a^{2} + b^{2} = 1$ と直線 $3 a + 2 b = k$ が接する条件は、中心 $(0, 0)$ との距離が $1$ になることなので

\frac{∣ k ∣}{3 ^{2} + 2 ^{2}} = 1, k = \pm 13

である。 $k = 13$ のときの接点は、中心から法線ベクトル $(3, 2)$ の向きに半径 $1$ だけ進んだ点

(a, b) = (\frac{3}{13}, \frac{2}{13}) = (\frac{3 13}{13}, \frac{2 13}{13})

である。

この接点が $D$ に入っているかを確かめる。 $a > 0$ 、 $b > 0$ は明らかである。 $a + 2 b ≦ 2$ については

a + 2 b = \frac{3}{13} + \frac{4}{13} = \frac{7}{13} = \frac{7 13}{13}

で、 $\frac{7}{13} ≦ 2 ⟺ 7 ≦ 213 = 52$ 、 $49 ≦ 52$ ✓ なので満たしている。

接点が $D$ に含まれているので、 $k = 13$ は実現できる。また $D$ は円 $a^{2} + b^{2} ≦ 1$ に含まれているので、 $D$ 上では

3 a + 2 b ≦ 3^{2} + 2^{2} a^{2} + b^{2} ≦ 13

（コーシー・シュワルツの不等式）であり、 $13$ を超えることはない。よって最大値は $13$ で、そのときの $a, b$ は上の接点である。

a = \frac{3 13}{13}, b = \frac{2 13}{13}, (3 a + 2 b)_{m a x} = 13

もし接点が $a + 2 b ≦ 2$ を外れていたら、最大は角 $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ でとり、 $3 \cdot \frac{4}{5} + 2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{18}{5} = 3.6$ になるところだった。実際 $13 = 3.6055 \dots$ とわずかに大きい。接点が領域に入っているかの確認が欠かせない。

格子探索での最大は $3.605500$ （ $a = 0.8295$ 、 $b = 0.5585$ ）で、 $13 = 3.605551$ とほぼ一致した。

円に接する点が、もう1つの条件 $a + 2 b ≦ 2$ を満たしているかを必ず確かめる。満たしていなければ答えは角の点になる。

$k = - 13$ のほうは第3象限側の接点なので、 $a, b > 0$ では関係ない。

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第4問　空間ベクトル

平面の法線ベクトル・外積にあたる計算・点と平面の距離・四面体の体積当サイトの体感難易度：標準

(1) $x y z$ 空間内の点 $O (0, 0, 0)$ 、 $A (1, 2, 3)$ 、 $B (- 3, 0, 1)$ 、 $C (6, - 3, 2)$ を頂点とする四面体 $OABC$ を考える。3点 $O, A, B$ を含む平面からの距離が $1$ の点のうち、点 $O$ に最も近く、 $x$ 座標が正のものを $H$ とするとき、 $H$ の座標を求める

答 $H (\frac{3}{6}, - \frac{6}{3}, \frac{1}{2})$

平面 $OAB$ の法線ベクトル $n$ を、 $n \cdot OA = n \cdot OB = 0$ から求める。平面は $O$ を通るので、距離 $1$ の点のうち $O$ に最も近いのは $O$ から法線方向に $1$ 進んだ点である。

平面 $OAB$ の法線ベクトルを $n = (p, q, r)$ とすると

n \cdot OA = p + 2 q + 3 r = 0, n \cdot OB = - 3 p + r = 0

である。2つめより $r = 3 p$ 。1つめに代入して $p + 2 q + 3 p = 0$ 、すなわち $q = - \frac{4 p}{2} = - 22 p$ である。 $p = 2$ ととると

n = (2, - 4, 6), ∣ n ∣ = 2 + 16 + 6 = 24 = 26

である。

平面 $OAB$ は $O$ を通る。平面からの距離が $1$ の点全体は、平面の両側にある2枚の平行な平面である。そのうち $O$ に最も近い点は、 $O$ から法線方向に長さ $1$ だけ進んだ2点

\pm \frac{n}{∣ n ∣} = \pm \frac{1}{2 6} (2, - 4, 6) = \pm (\frac{3}{6}, - \frac{6}{3}, \frac{1}{2})

である（ $\frac{2}{2 6} = \frac{1}{2 3} = \frac{3}{6}$ 、 $\frac{- 4}{2 6} = \frac{- 2}{6} = - \frac{6}{3}$ 、 $\frac{6}{2 6} = \frac{1}{2}$ ）。どちらも $O$ からの距離は $1$ で等しいので、 $x$ 座標が正という条件で

H (\frac{3}{6}, - \frac{6}{3}, \frac{1}{2})

に決まる。

$OH = 1.000000000$ 、平面からの距離も $1.000000000$ だった。

平面が原点を通るので、「平面からの距離 $1$ 」の点のうち $O$ に最も近いものは $O$ からの距離も $1$ になる。法線方向の単位ベクトルそのものである。

$\pm$ の2つとも $O$ から等距離なので、 $x$ 座標の符号で選ぶ。

(2)3点 $O, A, B$ を含む平面と点 $C$ の距離を求める

答 $22$

(1) の $n$ を使う。 $O$ を通る平面なので、距離は $\frac{n \cdot OC}{∣ n ∣}$ でよい。

$n = (2, - 4, 6)$ 、 $OC = (6, - 3, 2)$ なので

n \cdot OC = 2 \cdot 6 + (- 4) (- 3) + 6 \cdot 2 = 23 + 43 + 23 = 83

である（ $2 \cdot 6 = 12 = 23$ ）。よって距離は

\frac{n \cdot OC}{∣ n ∣} = \frac{8 3}{2 6} = \frac{4 3}{6} = \frac{4}{2} = 22

である。

数値では $2.828427125$ で、 $22 = 2.828427125$ と一致した。

(3)四面体 $OABC$ の体積を求める

答 $\frac{4 3}{3}$

$△ OAB$ を底面、(2) の距離を高さとする。 $△ OAB$ の面積は $\frac{∣ n ∣}{2}$ である。

$OA^{2} = 1 + 2 + 3 = 6$ 、 $OB^{2} = 3 + 0 + 1 = 4$ 、 $OA \cdot OB = - 3 + 0 + 3 = 0$ なので、 $△ OAB$ は $O$ が直角の直角三角形である。したがって

△ OAB = \frac{1}{2} OA OB = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6

である（これは $\frac{∣ n ∣}{2} = \frac{2 6}{2} = 6$ とも一致する）。(2) より高さは $22$ なので

V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 22 = \frac{2 12}{3} = \frac{4 3}{3}

である。

$OA ⊥ OB$ になっているのは問題の仕掛けで、底面積が一瞬で出る。気づかなくても $\frac{∣ n ∣}{2}$ で同じ値になる。

数値では $2.309401077$ で、 $\frac{4 3}{3} = 2.309401077$ と一致した。

角錐の体積は $\frac{1}{3} \times (底面積) \times (高さ)$ 。 $\frac{1}{2}$ と間違えない。

第4問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

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問題文について

(1)K を 3 より大きな奇数とし、l+m+n=K を満たす正の奇数の組 (l,m,n)（順序を区別する）の個数を N とするとき、K=99 での N を求める

(2)K=99 のとき、l,m,n の中に同じ奇数を2つ以上含む組 (l,m,n) の個数を求める

(3)N>K を満たす最小の K を求める

(1)実数 t の関数 F(t)=∫01​​x2−t2​dx について、0≦t≦1 のとき F(t) を t の整式として表す

(2)t≧0 のとき、F(t) を最小にする t の値 T と F(T) の値を求める

(1)a,b を正の実数とし、xy 平面上の直線 ℓ:ax+by−2=0 を考える。直線 ℓ と原点の距離が 2 以上であり、直線 ℓ と直線 x=1 の交点の y 座標が 2 以上であるような点 (a,b) のとりうる範囲 D を求め、ab 平面上に図示する

(2)点 (a,b) が (1) で求めた範囲 D を動くとき、3a+2b を最大にする a,b の値と、3a+2b の最大値を求める

(1)xyz 空間内の点 O(0,0,0)、A(1,2​,3​)、B(−3​,0,1)、C(6​,−3​,2​) を頂点とする四面体 OABC を考える。3点 O,A,B を含む平面からの距離が 1 の点のうち、点 O に最も近く、x 座標が正のものを H とするとき、H の座標を求める

(2)3点 O,A,B を含む平面と点 C の距離を求める

(3)四面体 OABC の体積を求める

同じ形式の問題を、5回分

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(1) $K$ を $3$ より大きな奇数とし、 $l + m + n = K$ を満たす正の奇数の組 $(l, m, n)$ （順序を区別する）の個数を $N$ とするとき、 $K = 99$ での $N$ を求める

(2) $K = 99$ のとき、 $l, m, n$ の中に同じ奇数を2つ以上含む組 $(l, m, n)$ の個数を求める

(3) $N > K$ を満たす最小の $K$ を求める

(1)実数 $t$ の関数 $F (t) = \int_{0}^{1} x^{2} - t^{2} d x$ について、 $0 ≦ t ≦ 1$ のとき $F (t)$ を $t$ の整式として表す

(2) $t ≧ 0$ のとき、 $F (t)$ を最小にする $t$ の値 $T$ と $F (T)$ の値を求める

(2)点 $(a, b)$ が (1) で求めた範囲 $D$ を動くとき、 $3 a + 2 b$ を最大にする $a, b$ の値と、 $3 a + 2 b$ の最大値を求める

(2)3点 $O, A, B$ を含む平面と点 $C$ の距離を求める

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