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大阪公立大学　2025年度（令和7年度）　前期日程　理系

大阪公立大理系 2025年度数学第3問（整数）の解答・解説

大阪公立大学（大阪公立大理系）2025年度（令和7年度・2025年）前期日程・理系入試の数学第3問（分野：整数）について、当サイトが独自に作成した解答・計算過程・詳解です。本問では「正の約数の列と最小素因数・約数の偶奇と素因数分解・背理法による絞り込み」を扱います。

出題テーマ：正の約数の列と最小素因数・約数の偶奇と素因数分解・背理法による絞り込み当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/11/15

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/11/15時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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大阪公立大理系 2025年度数学第3問の設問構成・解答方針（全4問）

問1の解答・解説へ
$2 < a < b < c$ かつ $(a - 2) (b - 2) (c + 2) = 2^{6}$ を満たす整数 $a, b, c$ の組をすべて求める
問2の解答・解説へ
自然数 $N$ の正の約数を小さい順に $1 = d_{1} < d_{2} < \dots < d_{n} = N (n ≧ 5)$ とし、 $(d_{3} - d_{2}) (d_{4} - d_{2}) (d_{5} + d_{2}) = (2 d_{2})^{3}$ を満たすとき、 $d_{2} \neq = 2$ であることを示す
問3の解答・解説へ
$d_{2} = 3$ であることを示す
問4の解答・解説へ
$d_{3}, d_{4}, d_{5}$ を求める

問1 $2 < a < b < c$ かつ $(a - 2) (b - 2) (c + 2) = 2^{6}$ を満たす整数 $a, b, c$ の組をすべて求める

答 $(a, b, c) = (3, 4, 30), (3, 6, 14)$

$x = a - 2, y = b - 2, z = c + 2$ とおくと $1 ≦ x < y < z - 4$ かつ $x y z = 64$ となるので、 $2$ の累乗の組を列挙する。

$x = a - 2, y = b - 2, z = c + 2$ とおくと、 $2 < a < b < c$ （ $a, b, c$ は整数）より

1 ≦ x < y, b = y + 2 < c = z - 2 ⟺ y + 4 < z

であり、 $x y z = 2^{6} = 64$ を満たす。 $x, y, z$ はすべて $64$ の正の約数（ $2$ の累乗）で $1 ≦ x < y < z$ だから、組 $(x, y, z)$ の候補は

(x, y, z) = (1, 2, 32), (1, 4, 16), (2, 4, 8)

の3通りである。このうち $y + 4 < z$ （すなわち $b < c$ ）を満たすのは $(1, 2, 32)$ と $(1, 4, 16)$ の2通り（ $(2, 4, 8)$ は $b = 6, c = 6$ となり $b < c$ を満たさない）である。よって

(a, b, c) = (3, 4, 30), (3, 6, 14)

である。

$(3 - 2) (4 - 2) (30 + 2) = 1 \cdot 2 \cdot 32 = 64$ 、 $(3 - 2) (6 - 2) (14 + 2) = 1 \cdot 4 \cdot 16 = 64$ 。

問2自然数 $N$ の正の約数を小さい順に $1 = d_{1} < d_{2} < \dots < d_{n} = N (n ≧ 5)$ とし、 $(d_{3} - d_{2}) (d_{4} - d_{2}) (d_{5} + d_{2}) = (2 d_{2})^{3}$ を満たすとき、 $d_{2} \neq = 2$ であることを示す

答 $d_{2} = 2$ と仮定すると問1より $(d_{3}, d_{4}, d_{5}) = (3, 4, 30)$ または $(3, 6, 14)$ となるが、前者は $6$ が約数であること、後者は $7$ が約数であることに矛盾する

$d_{2} = 2$ と仮定すると問1の方程式に帰着する。約数の性質（ $2$ と $3$ が約数なら $6$ も約数、 $14$ が約数なら $7$ も約数）から矛盾を導く。

背理法により $d_{2} = 2$ と仮定する。このとき $2 = d_{2} < d_{3} < d_{4} < d_{5}$ かつ

(d_{3} - 2) (d_{4} - 2) (d_{5} + 2) = 4^{3} = 2^{6}

が成り立つから、問1より $(d_{3}, d_{4}, d_{5}) = (3, 4, 30)$ または $(3, 6, 14)$ である。

$(d_{3}, d_{4}, d_{5}) = (3, 4, 30)$ のとき： $d_{2} = 2, d_{3} = 3$ はともに $N$ の約数であり、 $2$ と $3$ は互いに素だから $2 \times 3 = 6$ も $N$ の約数である。ところが $4 = d_{4} < 6 < 30 = d_{5}$ となり、 $d_{4}$ の次に小さい約数が $d_{5} = 30$ であることに矛盾する。
$(d_{3}, d_{4}, d_{5}) = (3, 6, 14)$ のとき： $d_{5} = 14$ が $N$ の約数であるから、その約数である $7$ も $N$ の約数である。ところが $6 = d_{4} < 7 < 14 = d_{5}$ となり、同様に矛盾する。

いずれの場合も矛盾するから、 $d_{2} \neq = 2$ である。 $■$

「小さい順に並べた連続する約数の間に別の約数が入ってしまう」という典型的な背理法である。

問3 $d_{2} = 3$ であることを示す

答 $d_{2}$ は最小の素因数（奇素数）だからすべての約数は奇数であり、 $\frac{d _{3} - d _{2}}{2} \cdot \frac{d _{4} - d _{2}}{2} \cdot \frac{d _{5} + d _{2}}{2} = d_{2}^{3}$ から $d_{4} = 3 d_{2}$ となって $3$ が $N$ の約数となるため $d_{2} = 3$

$1$ の次に小さい約数 $d_{2}$ は $N$ の最小素因数である。 $d_{2} \neq = 2$ より $N$ の約数はすべて奇数だから、 $d_{3} - d_{2}, d_{4} - d_{2}, d_{5} + d_{2}$ はすべて偶数となり、両辺を $8$ で割ると素数 $p = d_{2}$ の3乗の約数分解に帰着する。

$d_{2}$ は $1$ より大きい最小の約数であるから、 $d_{2}$ は素数（ $N$ の最小素因数）である。問2より $d_{2} \neq = 2$ だから、 $d_{2}$ は $3$ 以上の奇素数であり、 $N$ は $2$ を素因数にもたない奇数である。

したがって $N$ の約数 $d_{2}, d_{3}, d_{4}, d_{5}$ はすべて奇数であるから、 $d_{3} - d_{2}, d_{4} - d_{2}, d_{5} + d_{2}$ はすべて正の偶数である。そこで正の整数 $u, v, w$ を

u = \frac{d _{3} - d _{2}}{2}, v = \frac{d _{4} - d _{2}}{2}, w = \frac{d _{5} + d _{2}}{2}

とおくと、 $d_{2} < d_{3} < d_{4} < d_{5}$ より $1 ≦ u < v < w$ であり、与えられた等式 $(2 u) (2 v) (2 w) = (2 d_{2})^{3}$ の両辺を $8$ で割ると

uv w = d_{2}^{3}

となる。 $d_{2}$ は素数であるから、 $d_{2}^{3}$ の正の約数は $1, d_{2}, d_{2}^{2}, d_{2}^{3}$ の4個のみである。 $1 ≦ u < v < w$ かつ $uv w = d_{2}^{3}$ を満たす組は

(u, v, w) = (1, d_{2}, d_{2}^{2})

に限られる。このとき $v = \frac{d _{4} - d _{2}}{2} = d_{2}$ より

d_{4} = 3 d_{2}

である。 $d_{4} = 3 d_{2}$ は $N$ の約数であるから、 $3$ も $N$ の約数である。 $d_{2}$ は $1$ より大きい $N$ の最小の約数であり、かつ $d_{2} \neq = 2$ だから、 $d_{2} = 3$ である。 $■$

奇数の差・和が偶数になることから因子 $2^{3} = 8$ をくくり出すのが本問最大の急所である。

問4 $d_{3}, d_{4}, d_{5}$ を求める

答 $d_{3} = 5, d_{4} = 9, d_{5} = 15$

問3で得た $(u, v, w) = (1, d_{2}, d_{2}^{2})$ に $d_{2} = 3$ を代入する。

問3の証明より $(u, v, w) = (1, d_{2}, d_{2}^{2})$ に $d_{2} = 3$ を代入すると $(u, v, w) = (1, 3, 9)$ である。したがって

d_{3} d_{4} d_{5} = d_{2} + 2 u = 3 + 2 \cdot 1 = 5, = d_{2} + 2 v = 3 + 2 \cdot 3 = 9, = 2 w - d_{2} = 2 \cdot 9 - 3 = 15

である。

たとえば $N = 45 = 3^{2} \times 5$ や $N = 2025 = 3^{4} \times 5^{2}$ のとき、小さい方から5つの約数は $1, 3, 5, 9, 15$ となり、 $(5 - 3) (9 - 3) (15 + 3) = 2 \cdot 6 \cdot 18 = 216 = 6^{3} = (2 \cdot 3)^{3}$ を確かに満たす。

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問題文について

問12<a<b<c かつ (a−2)(b−2)(c+2)=26 を満たす整数 a,b,c の組をすべて求める

問2自然数 N の正の約数を小さい順に 1=d1​<d2​<⋯<dn​=N (n≧5) とし、(d3​−d2​)(d4​−d2​)(d5​+d2​)=(2d2​)3 を満たすとき、d2​=2 であることを示す

問3d2​=3 であることを示す

問4d3​, d4​, d5​ を求める