第2問整数の解答・解説

偶奇・素数・因数分解・整数解の絞り込み当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} + 2$ について、 $∣ f (n) ∣$ と $∣ f (n + 1) ∣$ がともに素数となる整数 $n$ をすべて求める

答 $n = - 3, - 2, - 1, 0$

$f (n) = n^{3} + 2 n^{2} + 2$ の偶奇は $n$ の偶奇で決まる。 $n$ と $n + 1$ の一方は必ず偶数なので、そちら側の $∣ f ∣$ は偶数、つまり素数なら $2$ しかない。これで候補が数個に絞れる。

$f (n) = n^{3} + 2 n^{2} + 2 \equiv n^{3} \equiv n (mod 2)$ なので、 $f (n)$ の偶奇は $n$ の偶奇に一致する。

$n$ と $n + 1$ の一方は偶数である。偶数のほう（ $m$ とする）については $∣ f (m) ∣$ が偶数で、素数ならば

∣ f (m) ∣ = 2 ⟺ m^{3} + 2 m^{2} + 2 = \pm 2

である。すなわち

m^{2} (m + 2) = 0 または m^{2} (m + 2) = - 4

である。

$m^{2} (m + 2) = 0$ ： $m = 0$ または $m = - 2$ 。
$m^{2} (m + 2) = - 4$ ： $m \leq - 3$ でないと左辺が $- 4$ より小さくならない。 $m = - 3$ で $- 9$ 、 $m = - 4$ で $- 32$ と、 $m$ が小さくなるほど左辺は小さくなる一方である（ $m \leq - 3$ で $m^{2} \geq 9$ 、 $m + 2 \leq - 1$ ）。 $m = - 1, 0, 1, \dots$ では左辺が $\geq 0$ 。よって整数解なし。

したがって偶数のほうは $m = 0$ か $m = - 2$ である。

$n = 0$ （ $n$ が偶数側）： $∣ f (0) ∣ = 2$ 、 $∣ f (1) ∣ = 5$ 。ともに素数 ◯
$n = - 2$ （ $n$ が偶数側）： $∣ f (- 2) ∣ = 2$ 、 $∣ f (- 1) ∣ = 3$ 。ともに素数 ◯
$n = - 1$ （ $n + 1 = 0$ が偶数側）： $∣ f (- 1) ∣ = 3$ 、 $∣ f (0) ∣ = 2$ 。ともに素数 ◯
$n = - 3$ （ $n + 1 = - 2$ が偶数側）： $∣ f (- 3) ∣ = 7$ 、 $∣ f (- 2) ∣ = 2$ 。ともに素数 ◯

よって求める $n$ は

n = - 3, - 2, - 1, 0

である。

$f (- 3) = - 27 + 18 + 2 = - 7$ 、 $f (- 2) = - 8 + 8 + 2 = 2$ 、 $f (- 1) = - 1 + 2 + 2 = 3$ 、 $f (0) = 2$ 、 $f (1) = 5$ である。絶対値をとるので $f (- 3) = - 7$ でもよい。