第5問空間図形の解答・解説

球に内接する立体・正方形の面積・3次関数の最大・高さの最大化当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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半径 $1$ の球面上の5点が正方形 $B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}$ を底面とする四角錐をなすとき、体積の最大値を求める

答 $\frac{64}{81}$

底面の正方形は、球を平面で切った円に内接する。その円の半径を決めれば底面積が決まり、頂点 $A$ は反対側のいちばん遠い点にとるのが最大である。だから変数は「中心から底面までの距離 $d$ 」1つだけになる。

球の中心を $O$ とする。底面の正方形 $B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}$ は1つの平面上にあり、その4頂点は球面上にあるから、この平面と球面の交わり（半径 $r$ の円）に内接する。中心 $O$ からこの平面までの距離を $d$ とすると

r^{2} + d^{2} = 1 (0 \leq d < 1)

である。半径 $r$ の円に内接する正方形は、対角線が直径だから1辺が $2 r$ で、面積は

S = (2 r)^{2} = 2 r^{2} = 2 (1 - d^{2})

である。

高さ。 頂点 $A$ も球面上にあり、底面の平面までの距離が高さである。球面上の点で、この平面からいちばん遠いのは、平面に下ろした垂線と球面の交点のうち中心から見て反対側のもので、その距離は

h = 1 + d

である。

体積。

V = \frac{1}{3} S h = \frac{2}{3} (1 - d^{2}) (1 + d) = \frac{2}{3} (1 - d) (1 + d)^{2}

である。 $g (d) = (1 - d) (1 + d)^{2}$ とおくと

g^{'} (d) = - (1 + d)^{2} + 2 (1 - d) (1 + d) = (1 + d) (1 - 3 d)

なので、 $0 \leq d < 1$ では $d = \frac{1}{3}$ で最大になる。値は

g (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} \cdot (\frac{4}{3})^{2} = \frac{32}{27}

だから

V_{m a x} = \frac{2}{3} \cdot \frac{32}{27} = \frac{64}{81}

である（ $0.790$ ほど）。このとき底面の円の半径は $r = \frac{2 2}{3}$ 、高さは $\frac{4}{3}$ である。

中心から底面までの距離

d

に対する体積

V = \frac{2}{3} (1 - d^{2}) (1 + d)

。

d = \frac{1}{3}

で最大

\frac{64}{81} = 0.790

をとる。

d = 0

（底面が中心を通る）では

\frac{2}{3}

、

d \to 1

では

0

に近づく。

$d$ を $0$ から $1$ まで $100$ 万等分して $V = \frac{2}{3} (1 - d^{2}) (1 + d)$ を計算すると、最大は $0.790123457$ （ $d = 0.333333$ ）で、 $\frac{64}{81} = 0.790123457$ と一致する。 $d = \frac{1}{3}$ では底面積 $\frac{16}{9}$ 、高さ $\frac{4}{3}$ で $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{16}{9} \cdot \frac{4}{3} = \frac{64}{81}$ である。