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京都大学　2019年度　前期日程　理系

第3問積分法の解答・解説

媒介変数表示の曲線・面積・グリーンの定理・ベクトルによる座標当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

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$Q$ が $AC$ を $t : 1 - t$ に、 $P$ が $BQ$ を $t : 1 - t$ に内分するとき、 $t$ が $0 < t < 1$ を動いて $P$ が描く曲線と線分 $BC$ で囲まれる部分の面積を $S$ で表す

答 $\frac{S}{3}$

$B$ を原点、 $u = BA$ 、 $v = BC$ を基本ベクトルにとると、 $P$ の位置が $(t (1 - t), t^{2})$ という簡単な媒介変数表示になる。この「斜交座標」での面積を求めてから、 $∣ u \times v ∣ = 2 S$ を掛ければよい。

$Q = (1 - t) A + t C$ 、 $P = (1 - t) B + t Q$ なので

P = t (1 - t) A + (1 - t) B + t^{2} C

である（係数の和は $t - t^{2} + 1 - t + t^{2} = 1$ ）。 $B$ を基点にすると

BP = t (1 - t) u + t^{2} v (u = BA, v = BC)

である。 $t = 0$ で $P = B$ 、 $t = 1$ で $P = C$ なので、曲線は $B$ から $C$ まで伸びている。

斜交座標での面積。 $u, v$ を座標軸だと思い、 $P$ の座標を $(x (t), y (t)) = (t - t^{2}, t^{2})$ とする。線分 $BC$ はこの座標で $x = 0$ （ $0 \leq y \leq 1$ ）にあたる。囲まれた部分の面積は、グリーンの定理（ $\frac{1}{2} \oint (x d y - y d x)$ ）で求まる。 $BC$ の上では $x = 0$ 、 $d x = 0$ なので寄与は $0$ で

\frac{1}{2} \int_{0}^{1} (x y^{'} - y x^{'}) d t

だけが残る。 $x^{'} = 1 - 2 t$ 、 $y^{'} = 2 t$ なので

x y^{'} - y x^{'} = (t - t^{2}) \cdot 2 t - t^{2} (1 - 2 t) = 2 t^{2} - 2 t^{3} - t^{2} + 2 t^{3} = t^{2}

となり、斜交座標での面積は

\frac{1}{2} \int_{0}^{1} t^{2} d t = \frac{1}{6}

である。

実際の面積に直す。 斜交座標で面積 $σ$ の図形は、実際には $σ ∣ u \times v ∣$ の面積をもつ。 $△ ABC$ の面積が $S$ なので $∣ u \times v ∣ = 2 S$ であり

（ 求める面積 ） = \frac{1}{6} \cdot 2 S = \frac{S}{3}

である。

答えが三角形の形によらないのは、 $P$ の位置が $A, B, C$ の「重み」だけで書けていて、その重みが $t$ だけで決まるからである。「鋭角三角形」という条件は図の形を決めるためのもので、答えには効かない。

A (1, 2)

、

B (0, 0)

、

C (3, 0)

（

S = 3

）での例。

P (t)

は

B

から

C

まで

A

側にふくらむ曲線を描き、線分

BC

との間の面積は

\frac{S}{3} = 1

になる。

三角形をランダムに3つとり、曲線と線分 $BC$ で囲む面積を $20$ 万点の数値積分で求めると、 $S = 1.991312$ で $0.663771$ 、 $S = 1.329358$ で $0.443119$ 、 $S = 1.429231$ で $0.476410$ となり、いずれも $\frac{S}{3}$ と小数6桁まで一致した。

$BP$ の係数は $(t (1 - t), t^{2})$ で、和は $1$ にならない（これは $B$ を基点にした成分であって、重心座標ではない）。 $A, B, C$ の重みの和が $1$ なのとは別の話である。

斜交座標で計算した面積は、最後に $∣ u \times v ∣ = 2 S$ を掛けて実際の面積に直す。 $S$ を掛けるのではない。

グリーンの定理を使わないなら、 $x = t - t^{2}$ が $0 \leq t \leq \frac{1}{2}$ で増加、 $\frac{1}{2} \leq t \leq 1$ で減少することに注意して $\int y d x$ を2つに分けてもよい。計算量は増える。

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Q が AC を t:1−t に、P が BQ を t:1−t に内分するとき、t が 0<t<1 を動いて P が描く曲線と線分 BC で囲まれる部分の面積を S で表す

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