第4問確率の解答・解説

反復試行・上がり下がりの回数・等比数列の和・場合の数当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

$X_{k - 1} \leq 4$ かつ $X_{k} \geq 5$ となる $k$ （ $1 \leq k \leq n$ ）がただ1つである確率を求める

答 $\frac{( n - 1 ) 2 ^{n} + 1}{3 ^{n}}$

出た目そのものではなく「 $4$ 以下か $5$ 以上か」だけが効く。 $4$ 以下を「低」、 $5$ 以上を「高」と書くと、条件は「低から高へ切り替わる場所がちょうど1か所」である。 $X_{0} = 0$ は低なので、これは「高が続く固まりがちょうど1つ」と同じことになる。

各回の目が $4$ 以下である確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ 、 $5$ 以上である確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ である。 $4$ 以下を「低」、 $5$ 以上を「高」と呼ぶ。 $X_{0} = 0$ は低である。

条件の $k$ は「低のすぐ後に高が来る場所」で、 $X_{0}$ が低だから、その個数は $X_{1}, \dots, X_{n}$ の中の高が連続する固まりの個数に等しい。したがって条件は「高の固まりがちょうど1つ」である。

数え上げる。 高の固まりが $1$ つだけで長さ $L$ （ $1 \leq L \leq n$ ）のとき、その固まりの置き場所は $n - L + 1$ 通りある。残り $n - L$ 回は低だから、確率は

P = L = 1 \sum n (n - L + 1) (\frac{1}{3})^{L} (\frac{2}{3})^{n - L}

である。

和を計算する。 $(\frac{2}{3})^{n}$ をくくり出すと、 $\frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2}$ なので

P = (\frac{2}{3})^{n} L = 1 \sum n (n + 1 - L) (\frac{1}{2})^{L}

である。よく知られた2つの和

L = 1 \sum n (\frac{1}{2})^{L} = 1 - \frac{1}{2 ^{n}}, L = 1 \sum n L (\frac{1}{2})^{L} = 2 - \frac{n + 2}{2 ^{n}}

を使うと、中かっこの中は

(n + 1) (1 - \frac{1}{2 ^{n}}) - (2 - \frac{n + 2}{2 ^{n}}) = n - 1 + \frac{1}{2 ^{n}}

となる。したがって

P = (\frac{2}{3})^{n} (n - 1 + \frac{1}{2 ^{n}}) = (n - 1) (\frac{2}{3})^{n} + (\frac{1}{3})^{n} = \frac{( n - 1 ) 2 ^{n} + 1}{3 ^{n}}

である。

$n = 1$ では $\frac{1}{3}$ 、 $n = 2$ では $\frac{5}{9}$ 、 $n = 3$ では $\frac{17}{27}$ である。 $n = 4$ の $\frac{49}{81} = 0.605$ あたりが最大で、その後は $0$ に近づく（高の固まりが2つ以上になりやすくなるため）。

$n = 1$ から $12$ まで $2^{n}$ 通りの「低・高」の並びをすべて列挙し、切り替わりがちょうど1回のものの確率を分数のまま足すと、 $\frac{1}{3}, \frac{5}{9}, \frac{17}{27}, \frac{49}{81}, \frac{43}{81}, \frac{107}{243}, \dots$ となり、 $\frac{( n - 1 ) 2 ^{n} + 1}{3 ^{n}}$ と完全に一致する。