第6問複素数平面の解答・解説

極形式・ド・モアブル・周期・常用対数による評価当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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$(1 + i)^{n} + (1 - i)^{n} > 1 0^{10}$ をみたす最小の正の整数 $n$ を求める

答 $n = 71$

$1 \pm i$ を極形式で書くと $2 (cos \frac{π}{4} \pm i sin \frac{π}{4})$ なので、 $n$ 乗して足すと $2^{\frac{n}{2} + 1} cos \frac{nπ}{4}$ という実数になる。 $cos \frac{nπ}{4}$ は $n$ を $8$ で割った余りだけで決まるので、値のとりうる形は数通りしかない。

$1 + i = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$ 、 $1 - i$ はその共役である。ド・モアブルの定理より

(1 + i)^{n} + (1 - i)^{n} = 2^{\frac{n}{2}} \cdot 2 cos \frac{nπ}{4} = 2^{\frac{n}{2} + 1} cos \frac{nπ}{4}

である。 $cos \frac{nπ}{4}$ は $n$ を $8$ で割った余りで決まり

cos \frac{nπ}{4} = ⎩ ⎨ ⎧ 1 \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - 1 (n \equiv 0) (n \equiv 1, 7) (n \equiv 2, 6) (n \equiv 3, 5) (n \equiv 4) (mod 8)

である。正の値になるのは $n \equiv 0, 1, 7 (mod 8)$ のときだけで、そのとき

(1 + i)^{n} + (1 - i)^{n} = {2^{\frac{n}{2} + 1} = 2^{\frac{n + 2}{2}} 2^{\frac{n}{2} + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{n + 1}{2}} (n \equiv 0 (mod 8)) (n \equiv 1, 7 (mod 8))

である（どちらも $2$ の整数乗になる）。

$2^{k} > 1 0^{10}$ となる $k$ 。 $0.3010 < lo g_{10} 2 < 0.3011$ を使う。

lo g_{10} 2^{33} = 33 lo g_{10} 2 < 33 \times 0.3011 = 9.9363 < 10

lo g_{10} 2^{34} = 34 lo g_{10} 2 > 34 \times 0.3010 = 10.234 > 10

なので、 $2^{k} > 1 0^{10}$ となるのは $k \geq 34$ のときである。

$n$ を探す。 $n \equiv 0, 1, 7 (mod 8)$ を小さい順に並べ、対応する指数 $k$ を見る。

$n = 63$ （ $\equiv 7$ ）： $k = \frac{64}{2} = 32$ 。 $32 < 34$ で不足。
$n = 64$ （ $\equiv 0$ ）： $k = \frac{66}{2} = 33$ 。まだ不足。
$n = 65$ （ $\equiv 1$ ）： $k = \frac{66}{2} = 33$ 。まだ不足。
$n = 71$ （ $\equiv 7$ ）： $k = \frac{72}{2} = 36 \geq 34$ 。これをみたす。

$66 \leq n \leq 70$ は $n \equiv 2, 3, 4, 5, 6 (mod 8)$ なので値が $0$ 以下であり、条件をみたさない。したがって最小の $n$ は

n = 71

である（このとき値は $2^{36} = 68719476736 \approx 6.87 \times 1 0^{10}$ ）。

$k = 34, 35$ を与える $n$ は存在しない。 $k = \frac{n + 1}{2} = 34$ なら $n = 67 \equiv 3$ 、 $k = \frac{n + 2}{2} = 34$ なら $n = 66 \equiv 2$ で、どちらも $cos \frac{nπ}{4} > 0$ の条件を外れる。だから $2^{33}$ の次に現れる値が $2^{36}$ になる。

$n = 60$ から $79$ まで $(1 + i)^{n} + (1 - i)^{n}$ を直接計算すると、 $1 0^{10}$ を初めて超えるのは $n = 71$ （値 $68719476736 = 2^{36}$ ）である。 $n = 63, 64, 65$ では $2^{32} = 4294967296$ 、 $2^{33} = 8589934592$ 、 $2^{33}$ で、いずれも $1 0^{10} = 10000000000$ に届かない。