第1問三角関数／積分法の解答・解説

有理数と無理数・2倍角・3倍角・部分積分・1/cos の積分当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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問1 $0 < θ < \frac{π}{2}$ で、 $cos θ$ は有理数でないが $cos 2 θ$ と $cos 3 θ$ がともに有理数になる $θ$ を求める

答 $θ = \frac{π}{6}$

$c = cos θ$ とおくと $cos 2 θ = 2 c^{2} - 1$ から $c^{2}$ が有理数、 $cos 3 θ = c (4 c^{2} - 3)$ から「 $c \times$ （有理数）」が有理数と分かる。 $c$ が無理数なのだから、その有理数の因子が $0$ でなければならない。

$c = cos θ$ とおく。

cos 2 θ = 2 c^{2} - 1, cos 3 θ = 4 c^{3} - 3 c = c (4 c^{2} - 3)

である。

$c^{2}$ は有理数。 $cos 2 θ$ が有理数なので $c^{2} = \frac{cos 2 θ + 1}{2}$ も有理数である。これを $q$ とおく。

$4 q - 3 = 0$ 。 $cos 3 θ = c (4 q - 3)$ が有理数である。もし $4 q - 3 \neq = 0$ なら

c = \frac{cos 3 θ}{4 q - 3}

は有理数どうしの商なので有理数となり、「 $c$ は有理数でない」に反する。よって $4 q - 3 = 0$ 、すなわち

c^{2} = q = \frac{3}{4}

である。

$θ$ を決める。 $0 < θ < \frac{π}{2}$ では $c > 0$ なので $c = \frac{3}{2}$ 、したがって

θ = \frac{π}{6}

である。逆にこのとき $cos θ = \frac{3}{2}$ は無理数（ $3$ は素数なので $3$ は無理数で、 $\frac{3}{2}$ も無理数）、 $cos 2 θ = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ 、 $cos 3 θ = cos \frac{π}{2} = 0$ でともに有理数だから、条件をみたす。

$θ = \frac{π}{6}$ で $cos θ = 0.866025404$ 、 $cos 2 θ = 0.5$ 、 $cos 3 θ = 0$ となり、条件をすべてみたす。

$cos 3 θ$ を $c$ の3次式のまま扱わず、 $c (4 c^{2} - 3)$ とくくる。 $c^{2}$ が有理数だと分かっているので、くくれば「有理数 $\times c$ 」の形になる。

$4 q - 3 \neq = 0$ を仮定して矛盾を導く、という背理法の形にする。 $4 q - 3 = 0$ を直接示すことはできない。

最後に逆（その $θ$ が条件をみたすこと）を確かめる。 $\frac{3}{2}$ が無理数であることも書いておく。

問2 $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{x}{cos ^{2} x} d x$ と $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{d x}{cos x}$ を求める

答(1) $\frac{π}{4} - \frac{1}{2} lo g 2$ 、(2) $lo g (1 + 2)$

(1) は $\frac{1}{cos ^{2} x}$ が $tan x$ の導関数なので部分積分。(2) は分母分子に $cos x$ を掛けて $s = sin x$ で置換する。

(1) $(tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}$ なので部分積分して

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{x}{cos ^{2} x} d x = [x tan x]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} tan x d x

である。 $tan \frac{π}{4} = 1$ で、 $\int tan x d x = - lo g ∣ cos x ∣$ だから

= \frac{π}{4} + [lo g cos x]_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{π}{4} + lo g \frac{1}{2} = \frac{π}{4} - \frac{1}{2} lo g 2

である（ $0.4388$ ほど）。

(2) 分母分子に $cos x$ を掛けて $s = sin x$ （ $d s = cos x d x$ ）とおくと

\int \frac{d x}{cos x} = \int \frac{cos x d x}{1 - sin ^{2} x} = \int \frac{d s}{1 - s ^{2}} = \frac{1}{2} lo g \frac{1 + s}{1 - s}

である。 $x : 0 \to \frac{π}{4}$ で $s : 0 \to \frac{1}{2}$ だから

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{d x}{cos x} = \frac{1}{2} lo g \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} lo g \frac{2 + 1}{2 - 1}

である。 $\frac{2 + 1}{2 - 1} = (2 + 1)^{2}$ なので

= \frac{1}{2} lo g (1 + 2)^{2} = lo g (1 + 2)

である（ $0.8814$ ほど）。

$400$ 万点の数値積分で (1) は $0.438824573$ （ $\frac{π}{4} - \frac{1}{2} lo g 2 = 0.438824573$ ）、(2) は $0.881373587$ （ $lo g (1 + 2) = 0.881373587$ ）となり、どちらも一致する。