京大理系 2019年度 数学の解答・解説

$c=\cos \theta$ とおく。

である。

$c^2$ は有理数。 $\cos 2\theta$ が有理数なので $c^2=\frac{\cos 2\theta +1}{2}$ も有理数である。これを $q$ とおく。

$4q-3=0$。 $\cos 3\theta =c(4q-3)$ が有理数である。もし $4q-3\ne 0$ なら

は有理数どうしの商なので有理数となり、「$c$ は有理数でない」に反する。よって $4q-3=0$、すなわち

である。

$\theta$ を決める。 $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ では $c>0$ なので $c=\frac{\sqrt{3}}{2}$、したがって

である。逆にこのとき $\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ は無理数（$3$ は素数なので $\sqrt{3}$ は無理数で、$\frac{\sqrt{3}}{2}$ も無理数）、$\cos 2\theta =\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$、$\cos 3\theta =\cos \frac{\pi }{2}=0$ でともに有理数だから、条件をみたす。

(1) ${\left(\tan x\right)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ なので部分積分して

である。$\tan \frac{\pi }{4}=1$ で、$\int \tan xdx=-\log \left|\cos x\right|$ だから

である（$0.4388$ ほど）。

(2) 分母分子に $\cos x$ を掛けて $s=\sin x$（$ds=\cos xdx$）とおくと

である。$x:0\to \frac{\pi }{4}$ で $s:0\to \frac{1}{\sqrt{2}}$ だから

である。$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}={\left(\sqrt{2}+1\right)}^2$ なので

である（$0.8814$ ほど）。

$f(n)=n^3+2n^2+2\equiv n^3\equiv n(\mathrm{mod}2)$ なので、$f(n)$ の偶奇は $n$ の偶奇に一致する。

$n$ と $n+1$ の一方は偶数である。偶数のほう（$m$ とする）については $\left|f(m)\right|$ が偶数で、素数ならば

である。すなわち

である。

1. $m^2(m+2)=0$：$m=0$ または $m=-2$。
2. $m^2(m+2)=-4$：$m\le -3$ でないと左辺が $-4$ より小さくならない。$m=-3$ で $-9$、$m=-4$ で $-32$ と、$m$ が小さくなるほど左辺は小さくなる一方である（$m\le -3$ で $m^2\ge 9$、$m+2\le -1$）。$m=-1,0,1,\dots$ では左辺が $\ge 0$。よって整数解なし。

したがって偶数のほうは $m=0$ か $m=-2$ である。

1. $n=0$（$n$ が偶数側）：$\left|f(0)\right|=2$、$\left|f(1)\right|=5$。ともに素数 ◯
2. $n=-2$（$n$ が偶数側）：$\left|f(-2)\right|=2$、$\left|f(-1)\right|=3$。ともに素数 ◯
3. $n=-1$（$n+1=0$ が偶数側）：$\left|f(-1)\right|=3$、$\left|f(0)\right|=2$。ともに素数 ◯
4. $n=-3$（$n+1=-2$ が偶数側）：$\left|f(-3)\right|=7$、$\left|f(-2)\right|=2$。ともに素数 ◯

よって求める $n$ は

である。

$f(-3)=-27+18+2=-7$、$f(-2)=-8+8+2=2$、$f(-1)=-1+2+2=3$、$f(0)=2$、$f(1)=5$ である。絶対値をとるので $f(-3)=-7$ でもよい。

$\mathrm{Q}=(1-t)\mathrm{A}+t\mathrm{C}$、$\mathrm{P}=(1-t)\mathrm{B}+t\mathrm{Q}$ なので

である（係数の和は $t-t^2+1-t+t^2=1$）。$\mathrm{B}$ を基点にすると

である。$t=0$ で $\mathrm{P}=\mathrm{B}$、$t=1$ で $\mathrm{P}=\mathrm{C}$ なので、曲線は $\mathrm{B}$ から $\mathrm{C}$ まで伸びている。

斜交座標での面積。 $\vec{u},\vec{v}$ を座標軸だと思い、$\mathrm{P}$ の座標を $\left(x(t),y(t)\right)=\left(t-t^2,t^2\right)$ とする。線分 $\mathrm{BC}$ はこの座標で $x=0$（$0\le y\le 1$）にあたる。囲まれた部分の面積は、グリーンの定理（$\frac{1}{2}\oint \left(xdy-ydx\right)$）で求まる。$\mathrm{BC}$ の上では $x=0$、$dx=0$ なので寄与は $0$ で

だけが残る。$x^{\prime }=1-2t$、$y^{\prime }=2t$ なので

となり、斜交座標での面積は

である。

実際の面積に直す。 斜交座標で面積 $\sigma$ の図形は、実際には $\sigma \left|\vec{u}\times \vec{v}\right|$ の面積をもつ。$△\mathrm{ABC}$ の面積が $S$ なので $\left|\vec{u}\times \vec{v}\right|=2S$ であり

である。

答えが三角形の形によらないのは、$\mathrm{P}$ の位置が $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ の「重み」だけで書けていて、その重みが $t$ だけで決まるからである。「鋭角三角形」という条件は図の形を決めるためのもので、答えには効かない。

各回の目が $4$ 以下である確率は $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$、$5$ 以上である確率は $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ である。$4$ 以下を「低」、$5$ 以上を「高」と呼ぶ。$X_0=0$ は低である。

条件の $k$ は「低のすぐ後に高が来る場所」で、$X_0$ が低だから、その個数は $X_1,\dots ,X_n$ の中の高が連続する固まりの個数に等しい。したがって条件は「高の固まりがちょうど1つ」である。

数え上げる。 高の固まりが $1$ つだけで長さ $L$（$1\le L\le n$）のとき、その固まりの置き場所は $n-L+1$ 通りある。残り $n-L$ 回は低だから、確率は

である。

和を計算する。 ${\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ をくくり出すと、$\frac{1/3}{2/3}=\frac{1}{2}$ なので

である。よく知られた2つの和

を使うと、中かっこの中は

となる。したがって

である。

$n=1$ では $\frac{1}{3}$、$n=2$ では $\frac{5}{9}$、$n=3$ では $\frac{17}{27}$ である。$n=4$ の $\frac{49}{81}=0.605$ あたりが最大で、その後は $0$ に近づく（高の固まりが2つ以上になりやすくなるため）。

球の中心を $\mathrm{O}$ とする。底面の正方形 ${\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_3{\mathrm{B}}_4$ は1つの平面上にあり、その4頂点は球面上にあるから、この平面と球面の交わり（半径 $r$ の円）に内接する。中心 $\mathrm{O}$ からこの平面までの距離を $d$ とすると

である。半径 $r$ の円に内接する正方形は、対角線が直径だから1辺が $\sqrt{2}r$ で、面積は

である。

高さ。 頂点 $\mathrm{A}$ も球面上にあり、底面の平面までの距離が高さである。球面上の点で、この平面からいちばん遠いのは、平面に下ろした垂線と球面の交点のうち中心から見て反対側のもので、その距離は

である。

体積。

である。$g(d)=(1-d)(1+d{)}^2$ とおくと

なので、$0\le d<1$ では $d=\frac{1}{3}$ で最大になる。値は

だから

である（$0.790$ ほど）。このとき底面の円の半径は $r=\frac{2\sqrt{2}}{3}$、高さは $\frac{4}{3}$ である。

$1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$、$1-i$ はその共役である。ド・モアブルの定理より

である。$\cos \frac{n\pi }{4}$ は $n$ を $8$ で割った余りで決まり

である。正の値になるのは $n\equiv 0,1,7(\mathrm{mod}8)$ のときだけで、そのとき

である（どちらも $2$ の整数乗になる）。

$2^k>10^{10}$ となる $k$。 $0.3010<{\log }_{10}2<0.3011$ を使う。

なので、$2^k>10^{10}$ となるのは $k\ge 34$ のときである。

$n$ を探す。 $n\equiv 0,1,7(\mathrm{mod}8)$ を小さい順に並べ、対応する指数 $k$ を見る。

1. $n=63$（$\equiv 7$）：$k=\frac{64}{2}=32$。$32<34$ で不足。
2. $n=64$（$\equiv 0$）：$k=\frac{66}{2}=33$。まだ不足。
3. $n=65$（$\equiv 1$）：$k=\frac{66}{2}=33$。まだ不足。
4. $n=71$（$\equiv 7$）：$k=\frac{72}{2}=36\ge 34$。これをみたす。

$66\le n\le 70$ は $n\equiv 2,3,4,5,6(\mathrm{mod}8)$ なので値が $0$ 以下であり、条件をみたさない。したがって最小の $n$ は

である（このとき値は $2^{36}=68719476736\approx 6.87\times 10^{10}$）。

$k=34,35$ を与える $n$ は存在しない。$k=\frac{n+1}{2}=34$ なら $n=67\equiv 3$、$k=\frac{n+2}{2}=34$ なら $n=66\equiv 2$ で、どちらも $\cos \frac{n\pi }{4}>0$ の条件を外れる。だから $2^{33}$ の次に現れる値が $2^{36}$ になる。