第6問 整数の解答・解説

$f(n)=n\left(n^2+10n+20\right)$ である。$q(n)=n^2+10n+20$ とおく。

$f(n)=nq(n)$ が素数 $p$ になったとする。$n$ と $q(n)$ は整数で積が $p$ だから、$n$ は $p$ の約数であり、$n=\pm 1$ または $n=\pm p$ である。$n=\pm p$ なら $q(n)=\pm 1$ になるので、結局 $|n|=1$ か $|q(n)|=1$ のどちらかが成り立つ。順に調べる。

1. $n=1$：$f(1)=1+10+20=31$ で、これは素数。適する。
2. $n=-1$：$f(-1)=-1+10-20=-11$ で、負だから素数ではない。適さない。
3. $q(n)=1$：$n^2+10n+19=0$ の判別式は $100-76=24$ で平方数でないから、整数解はない。
4. $q(n)=-1$：$n^2+10n+21=(n+3)(n+7)=0$ より $n=-3,-7$。このとき $f(n)=-n$ で、$f(-3)=3$、$f(-7)=7$。どちらも素数で適する。

以上より $n=-7,-3,1$ である。

$q(x)=x^2+ax+b$ とおくと $g(n)=nq(n)$ である。$g(n)$ が素数になる整数 $n$ 全体の集合を $T$ とし、次の3つに分ける。

1. $P=\left\{n\in T:q(n)=1\right\}$。このとき $g(n)=n$ なので $n$ 自身が素数で、とくに $n\ge 2$。
2. $N=\left\{n\in T:q(n)=-1\right\}$。このとき $g(n)=-n$ なので $-n$ が素数で、とくに $n\le -2$。
3. $E=\left\{n\in T:|q(n)|\ne 1\right\}$。$nq(n)$ が素数で $|q(n)|\ne 1$ なら $|n|=1$ でなければならないので、$n=\pm 1$。

$T$ のどの要素も、$|n|=1$ か $|q(n)|=1$ のどちらかをみたす（(1) と同じ議論）ので、$T=P\cup N\cup E$ である。$P,N$ の要素は $|n|\ge 2$、$E$ の要素は $|n|=1$ だから、3つに重なりはない。また $q(x)=1$、$q(x)=-1$ はどちらも2次方程式なので $|P|\le 2$、$|N|\le 2$ であり、$|E|\le 2$ である。

$P$ と $N$ が両方とも空でないことはない。 $r\in P$、$s\in N$ があったとする。$r\ge 2$、$s\le -2$ だから $r-s\ge 4$ である。一方

で、左辺は $1-(-1)=2$ である。$r+s+a$ は整数だから $r-s$ は $2$ の約数となり $r-s\le 2$ だが、これは $r-s\ge 4$ に反する。よって $P=\varnothing$ または $N=\varnothing$ である。

$|P|=2$ なら $-1\notin E$。 $P=\left\{r_1,r_2\right\}$（$r_1\ne r_2$、ともに素数なので $2$ 以上で、一方は $3$ 以上）とする。$q(x)-1$ は最高次の係数が $1$ の2次式で $r_1,r_2$ を解に持つから $q(x)-1=\left(x-r_1\right)\left(x-r_2\right)$ である。$x=-1$ を入れると

なので $q(-1)\ge 13$ である。すると $g(-1)=-q(-1)\le -13<0$ となり素数ではない。よって $-1\notin E$、したがって $|E|\le 1$ である。

$|N|=2$ なら $-1\notin E$。 $N=\left\{s_1,s_2\right\}$（$s_1\ne s_2$、ともに $-2$ 以下で、一方は $-3$ 以下）とする。同じように $q(x)+1=\left(x-s_1\right)\left(x-s_2\right)$ と書けて

なので $q(-1)\ge 1$ である。すると $g(-1)=-q(-1)\le -1<0$ となり素数ではない。よってこの場合も $|E|\le 1$ である。

まとめる。 $P=\varnothing$ か $N=\varnothing$ のどちらかなので、$|T|=|P|+|N|+|E|$ は次のどちらかに収まる。

1. $|P|\le 1$ かつ $|N|\le 1$ のとき：$P$ と $N$ の一方は空なので $|P|+|N|\le 1$ となり、$|T|\le 1+2=3$。
2. $|P|=2$ または $|N|=2$ のとき：もう一方は空で、上で見たとおり $|E|\le 1$ だから $|T|\le 2+0+1=3$。

いずれの場合も $|T|\le 3$ である。すなわち $g(n)$ が素数となる整数 $n$ は3個以下である。

上限の $3$ は実際に達成される。(1) の $a=10$、$b=20$ では $q(-3)=q(-7)=-1$ なので $N=\{-3,-7\}$、$q(1)=31$ で $|q(1)|\ne 1$ だから $E=\{1\}$ となり、ちょうど3個になっている。$P$ が空であることも、上の議論と合っている。