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東京大学　2024年度　前期日程　理科

第2問積分法の解答・解説

絶対値を含む定積分・積分で定義された関数の微分・2倍角の公式・最大最小当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/11

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/11時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $0 < α < \frac{π}{4}$ で $f^{'} (tan α) = 0$ となる $α$ を求める

答 $α = \frac{π}{8}$

絶対値は中身の符号で割るしかない。 $0 \leq x \leq 1$ なので $t = x$ で割れば、 $0 \leq t \leq x$ では $∣ t - x ∣ = x - t$ 、 $x \leq t \leq 1$ では $t - x$ になる。割ったあとは $x$ が積分区間の端にも被積分関数にも入るが、端では被積分関数が $0$ になるので、微分すると端からの寄与が消えてすっきりする。 $\frac{1}{1 + t ^{2}}$ の原始関数は高校の範囲に名前がないが、 $t = tan θ$ の置換で $\int_{0}^{t a n α} \frac{d t}{1 + t ^{2}} = α$ がそのまま使えるので、答えは角のままきれいに出る。

$0 \leq x \leq 1$ のもとで絶対値を外すと

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{x - t}{1 + t ^{2}} d t + \int_{x}^{1} \frac{t - x}{1 + t ^{2}} d t

である。見やすくするために

F (x) = \int_{0}^{x} \frac{d t}{1 + t ^{2}}, G (x) = \int_{0}^{x} \frac{t}{1 + t ^{2}} d t = \frac{1}{2} lo g (1 + x^{2})

とおく。 $F^{'} (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ 、 $G^{'} (x) = \frac{x}{1 + x ^{2}}$ である。これらで書き直すと

f (x) = x F (x) - G (x) + {G (1) - G (x)} - x {F (1) - F (x)} = 2 x F (x) - 2 G (x) + G (1) - x F (1)

となる。 $G (1)$ 、 $F (1)$ は定数だから、積の微分で

f^{'} (x) = 2 F (x) + 2 x \cdot \frac{1}{1 + x ^{2}} - 2 \cdot \frac{x}{1 + x ^{2}} - F (1) = 2 F (x) - F (1)

を得る。 $x$ を含む項がきれいに消えるのは、分けた2つの積分の境目 $t = x$ で被積分関数 $∣ t - x ∣$ が $0$ になるからである。

$F$ の値は $t = tan θ$ の置換で出る。 $d t = \frac{d θ}{cos ^{2} θ}$ 、 $1 + t^{2} = \frac{1}{cos ^{2} θ}$ だから、 $0 < α < \frac{π}{2}$ に対して

F (tan α) = \int_{0}^{α} \frac{1}{\frac{1}{c o s ^{2} θ}} \cdot \frac{d θ}{cos ^{2} θ} = \int_{0}^{α} d θ = α

である。とくに $F (1) = F (tan \frac{π}{4}) = \frac{π}{4}$ となる。したがって

f^{'} (tan α) = 2 α - \frac{π}{4}

であり、これが $0$ になるのは $α = \frac{π}{8}$ のときである。 $0 < \frac{π}{8} < \frac{π}{4}$ をみたすので、これが求める $α$ である。

$f^{'} (x) = 2 F (x) - F (1)$ は $F$ が増加関数なので増加関数で、 $f^{'} (0) = - \frac{π}{4} < 0$ 、 $f^{'} (1) = 2 \cdot \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{π}{4} > 0$ となる。 $0 < x < 1$ のどこかにただ1つ $f^{'} = 0$ の点があることと合う。

$\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} \frac{x - t}{1 + t ^{2}} d t$ を「端 $t = x$ の寄与だけ」で済ませない。 $x$ が被積分関数にも入っているので、 $x$ を積分の外に出してから積の微分をする。

$\frac{1}{1 + t ^{2}}$ の原始関数を無理に書こうとしない。 $F (x)$ と名前をつけて最後まで持っていき、 $F (tan α) = α$ という形でだけ値を使うのが速い。

(2)(1) の $α$ に対する $tan α$ の値を求める

答 $tan α = 2 - 1$

$\frac{π}{8}$ は $\frac{π}{4}$ の半分なので、2倍角の公式を「逆向き」に使う。 $tan \frac{π}{4} = 1$ が分かっているところに $tan 2 θ$ の公式を当てると、 $tan \frac{π}{8}$ についての2次方程式が出る。符号の決定は $0 < \frac{π}{8} < \frac{π}{4}$ から $0 < tan \frac{π}{8} < 1$ でよい。

$u = tan \frac{π}{8}$ とおく。 $0 < \frac{π}{8} < \frac{π}{4}$ だから $0 < u < 1$ である。2倍角の公式

tan \frac{π}{4} = \frac{2 u}{1 - u ^{2}} = 1

から $2 u = 1 - u^{2}$ 、すなわち

u^{2} + 2 u - 1 = 0, u = - 1 \pm 2

を得る。 $0 < u < 1$ より $u = 2 - 1$ である。

$2 - 1 = 0.4142 \dots$ で、たしかに $0$ と $1$ のあいだにある。さらに $tan \frac{π}{8}$ の2倍角を計算し直すと $\frac{2 ( 2 - 1 )}{1 - ( 3 - 2 2 )} = \frac{2 2 - 2}{2 2 - 2} = 1$ となり、 $tan \frac{π}{4} = 1$ に戻る。

(3) $0 \leq x \leq 1$ における $f (x)$ の最大値と最小値を求める

答最大値 $\frac{π}{4} - \frac{1}{2} lo g 2$ （ $x = 1$ のとき）、最小値 $lo g \frac{1 + 2}{2}$ （ $x = 2 - 1$ のとき）

$f^{'} (x) = 2 F (x) - \frac{π}{4}$ で $F$ は増加関数だから、 $f^{'}$ も増加関数で符号は1回しか変わらない。だから $f$ は「下がって上がる」形で、最小は $f^{'} = 0$ の点、最大は両端のどちらかである。両端の比較には $lo g 2$ の評価が要る。問題文が $0.69 < lo g 2 < 0.7$ を与えているのは、ここで使わせるためである。

$f^{'} (x) = 2 F (x) - \frac{π}{4}$ で $F$ は増加関数だから $f^{'}$ も増加関数である。(1)(2) より $f^{'} (2 - 1) = 0$ なので、 $0 \leq x < 2 - 1$ で $f^{'} < 0$ 、 $2 - 1 < x \leq 1$ で $f^{'} > 0$ となる。したがって $f$ は $x = 2 - 1$ で最小になり、最大は $x = 0$ と $x = 1$ のどちらかで起きる。

両端の値。 (1) の $f (x) = 2 x F (x) - 2 G (x) + G (1) - x F (1)$ に代入する。 $F (0) = G (0) = 0$ 、 $G (1) = \frac{1}{2} lo g 2$ 、 $F (1) = \frac{π}{4}$ だから

f (0) = G (1) = \frac{1}{2} lo g 2, f (1) = 2 F (1) - 2 G (1) + G (1) - F (1) = F (1) - G (1) = \frac{π}{4} - \frac{1}{2} lo g 2

である。差をとると

f (1) - f (0) = \frac{π}{4} - lo g 2

となる。 $π > 3.14$ より $\frac{π}{4} > 0.785$ で、 $lo g 2 < 0.7$ だから $f (1) - f (0) > 0.085 > 0$ である。よって最大値は $f (1) = \frac{π}{4} - \frac{1}{2} lo g 2$ である。

最小値。 $a = 2 - 1$ とおく。(1) より $F (a) = \frac{π}{8}$ 、また $a^{2} = 3 - 22$ から

1 + a^{2} = 4 - 22, G (a) = \frac{1}{2} lo g (4 - 22)

である。これらを代入すると

f (a) = 2 a \cdot \frac{π}{8} - 2 \cdot \frac{1}{2} lo g (4 - 22) + \frac{1}{2} lo g 2 - a \cdot \frac{π}{4} = \frac{aπ}{4} - \frac{aπ}{4} + \frac{1}{2} lo g 2 - lo g (4 - 22) = \frac{1}{2} lo g 2 - lo g (4 - 22)

となる。 $π$ を含む項が打ち消し合うのは、 $F (a) = \frac{π}{8}$ がちょうど $\frac{1}{2} F (1)$ だからである。あとは対数をまとめる。

\frac{1}{2} lo g 2 - lo g (4 - 22) = lo g \frac{2}{4 - 2 2} = lo g \frac{2 ( 4 + 2 2 )}{( 4 - 2 2 ) ( 4 + 2 2 )} = lo g \frac{4 2 + 4}{8} = lo g \frac{1 + 2}{2}

よって最小値は $lo g \frac{1 + 2}{2}$ で、 $x = 2 - 1$ のときである。

y = f (x)

のグラフ。

x = 2 - 1

でいちばん低くなり、区間の右端

x = 1

でいちばん高くなる。左端

f (0) = \frac{1}{2} lo g 2

は右端より低い。

数値で見ると最小値 $lo g \frac{1 + 2}{2} = 0.1882 \dots$ 、最大値 $\frac{π}{4} - \frac{1}{2} lo g 2 = 0.4388 \dots$ 、左端 $\frac{1}{2} lo g 2 = 0.3466 \dots$ となり、 $f (x)$ を数値積分した値と小数7桁まで一致する。また $f (x)$ は $\frac{∣ t - x ∣}{1 + t ^{2}} \geq 0$ の積分なので必ず正で、これとも合う。

最小を与える $x$ が区間の内部にあるからといって、最大も内部にあるとは限らない。 $f^{'}$ が増加関数であることを言えば、 $f$ の形は「下がって上がる」に限られ、最大が端点であることが確定する。

$f (1) > f (0)$ は $\frac{π}{4} > lo g 2$ と同じで、どちらも $0.7$ 前後なので目分量では決められない。 $π > 3.14$ と $lo g 2 < 0.7$ の2つを書いて初めて示せる。

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問題文について

(1)0<α<4π​ で f′(tanα)=0 となる α を求める

(2)(1) の α に対する tanα の値を求める

(3)0≤x≤1 における f(x) の最大値と最小値を求める

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