第1問 空間ベクトル・領域の図示の解答・解説

$\mathrm{P}$ は $xy$ 平面上の点だから $\mathrm{P}(x,y,0)$ とおける。$r=\mathrm{OP}=\sqrt{x^2+y^2}$ と書くと、条件 (i) は $r>0$ である。

条件 (ii) を式にする。 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(0,-1,1)$、$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\sqrt{2}$ で

だから $\cos \angle \mathrm{AOP}=\frac{-y}{\sqrt{2}r}$ である。$0\le \angle \mathrm{AOP}\le \pi$ の範囲で $\cos$ は減少するので、$\angle \mathrm{AOP}\ge \frac{2}{3}\pi$ は $\cos \angle \mathrm{AOP}\le \cos \frac{2}{3}\pi =-\frac{1}{2}$ と同じで、

となる。右辺は $0$ 以上だから、この不等式が成り立つときは必ず $y\ge 0$ であり、両辺とも $0$ 以上なので2乗してよい。

$y\ge 0$ とあわせて、条件 (ii) は $y\ge |x|$ と同値である。

条件 (iii) を式にする。 $\overrightarrow{\mathrm{AO}}=(0,1,-1)$、$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(x,y+1,-1)$ で

だから、$\angle \mathrm{OAP}\le \frac{\pi }{6}$ は $\cos \angle \mathrm{OAP}\ge \frac{\sqrt{3}}{2}$ と同じで

となる。右辺が $0$ 以上なので、この不等式のもとでは $y+2\ge 0$ であり、両辺を2乗してよい。

すなわち条件 (iii) は $x^2+\frac{(y-1{)}^2}{3}\le 1$ と同値で、中心 $(0,1)$、$x$ 方向の半径 $1$、$y$ 方向の半径 $\sqrt{3}$ の楕円の内部と周である。

2つを重ねる。 境界どうしの交点を求める。$y=x$ を $3x^2+(y-1{)}^2=3$ に代入すると

となり $x=1,-\frac{1}{2}$ を得る。$x=-\frac{1}{2}$ は $y=-\frac{1}{2}<|x|$ となって条件 (ii) に反するので捨て、交点は $(1,1)$ である。$y=-x$ 側は $y$ 軸対称だから $(-1,1)$ となる。なお $(1,1)$ は楕円のいちばん右の点（$x$ が最大の点）でもある。

求める範囲は、この楕円の内部と周のうち $y\ge |x|$ をみたす部分である。ただし原点 $\mathrm{O}$ は $y\ge |x|$ も楕円の内部の条件もみたすが、条件 (i) で除かれるので取り除く。