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東京大学　2024年度　前期日程　理科

第5問空間図形・積分法の解答・解説

回転体の体積・断面積・円環・2次関数の最大最小当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/11

問題文について

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三角形 $ABD$ の周および内部を $x$ 軸のまわりに1回転させた立体の体積を求める

答 $\frac{π}{9}$

回転体は $x$ 軸に垂直な平面で切って足す。切り口は、三角形の切り口（線分）を回したものなので、円板ではなく円環になりうる。線分の各点の $x$ 軸からの距離を調べ、その最大と最小を出せばよい。三角形は平面 $x + y + z = 1$ の上にあるので、 $x$ を固定すると $y + z$ が決まり、距離は1変数の2次関数になる。あとはその2次関数の定義域の端と頂点の位置関係で場合分けする。

$D$ は $AC$ の中点なので $D (\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})$ である。 $A, B, C$ はいずれも平面 $x + y + z = 1$ 上にあり、 $D$ もその上にある。

三角形を不等式で書く。 三角形 $ABD$ の周と内部は

x + y + z = 1, y \geq 0, z \geq 0, y + 2 z \leq 1

で表せる。実際、辺 $AB$ は $z = 0$ 、辺 $AD$ は $y = 0$ 、辺 $BD$ は $B (0, 1, 0)$ と $D (\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})$ を結ぶので、その上では $y + 2 z = 1$ が成り立つ。3頂点はこの3本の不等式の等号の組で得られる。

$x$ で切る。 $x$ を固定し、 $k = 1 - x$ とおく。切り口は $y + z = k$ 、 $y \geq 0$ 、 $z \geq 0$ 、 $y + 2 z \leq 1$ をみたす点の集合である。 $y = k - z$ を $y + 2 z \leq 1$ に入れると $k + z \leq 1$ 、つまり $z \leq 1 - k = x$ となるので、

0 \leq z \leq m, m = min {x, 1 - x}

の範囲の線分である。 $x$ の動く範囲は $0 \leq x \leq 1$ で、 $x = 1$ が $A$ 、 $x = 0$ が $B$ にあたる。

この線分上の点の $x$ 軸からの距離の2乗は

g (z) = y^{2} + z^{2} = (k - z)^{2} + z^{2} = 2 (z - \frac{k}{2})^{2} + \frac{k ^{2}}{2}

である。線分は連結だから、回してできる切り口は $g$ の最小値を内半径の2乗、最大値を外半径の2乗とする円環になる。

x = \frac{1}{5}

のときの切り口を

y z

平面で見たもの。線分（三角形の切り口）を原点のまわりに回すと、内側に穴のあいた円環ができる。外半径は

\frac{4}{5}

、内半径は

\frac{2}{5}

。

最大・最小を求める。 $g$ は下に凸で、軸は $z = \frac{k}{2}$ にある。定義域 $0 \leq z \leq m$ の端の値は

g (0) = k^{2}, g (m) = (k - m)^{2} + m^{2}

である。まず最大値を見る。 $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ では $m = x$ 、 $k = 1 - x$ で

g (0) - g (m) = (1 - x)^{2} - {(1 - 2 x)^{2} + x^{2}} = 2 x (1 - 2 x) \geq 0

となり、 $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ では $m = k$ なので $g (m) = k^{2} = g (0)$ となる。いずれにしても最大値は $g (0) = k^{2} = (1 - x)^{2}$ である。

次に最小値を見る。軸 $z = \frac{k}{2}$ が定義域に入るのは $\frac{k}{2} \leq m$ のときで、 $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ では $m = x$ だから $\frac{1 - x}{2} \leq x$ 、すなわち $x \geq \frac{1}{3}$ のときである。 $x \geq \frac{1}{2}$ では $m = k \geq \frac{k}{2}$ なので必ず入る。まとめると

$\frac{1}{3} \leq x \leq 1$ ：軸が定義域に入るので最小値は $g (\frac{k}{2}) = \frac{k ^{2}}{2} = \frac{( 1 - x ) ^{2}}{2}$ 。
$0 \leq x < \frac{1}{3}$ ：軸は定義域の右にあり $g$ は減少するので、最小値は $g (m) = g (x) = (1 - 2 x)^{2} + x^{2} = 5 x^{2} - 4 x + 1$ 。

したがって切り口の面積 $S (x)$ は

S (x) = ⎩ ⎨ ⎧ π {(1 - x)^{2} - (5 x^{2} - 4 x + 1)} = 2 π x (1 - 2 x) π {(1 - x)^{2} - \frac{( 1 - x ) ^{2}}{2}} = \frac{π ( 1 - x ) ^{2}}{2} (0 \leq x \leq \frac{1}{3}) (\frac{1}{3} \leq x \leq 1)

である。境目 $x = \frac{1}{3}$ ではどちらの式も $\frac{2 π}{9}$ となり、つながっている。

x

軸を含む平面で切ったときの断面の上半分。外側の曲線は半径

1 - x

、内側の曲線は

0 \leq x \leq \frac{1}{3}

で

5 x^{2} - 4 x + 1

、

\frac{1}{3} \leq x \leq 1

で

\frac{1 - x}{2}

。この2本ではさまれた部分を

x

軸のまわりに回したものが求める立体。

積分する。

\int_{0}^{\frac{1}{3}} 2 π x (1 - 2 x) d x \int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{π ( 1 - x ) ^{2}}{2} d x = 2 π [\frac{x ^{2}}{2} - \frac{2 x ^{3}}{3}]_{0}^{\frac{1}{3}} = 2 π (\frac{1}{18} - \frac{2}{81}) = 2 π \cdot \frac{5}{162} = \frac{5 π}{81} = \frac{π}{2} [- \frac{( 1 - x ) ^{3}}{3}]_{\frac{1}{3}}^{1} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3} (\frac{2}{3})^{3} = \frac{π}{2} \cdot \frac{8}{81} = \frac{4 π}{81}

足して、求める体積は

V = \frac{5 π}{81} + \frac{4 π}{81} = \frac{9 π}{81} = \frac{π}{9}

である。

$x = 0$ では $m = 0$ で切り口が1点になり、 $S (0) = 0$ となる。式でも $2 π \cdot 0 \cdot 1 = 0$ で合う。 $x = 1$ でも $S (1) = 0$ である。 $x = \frac{1}{3}$ での面積 $\frac{2 π}{9} = 0.698$ は、外半径 $\frac{2}{3}$ の円の面積 $\frac{4 π}{9} = 1.396$ のちょうど半分で、内半径が外半径の $\frac{1}{2}$ 倍であることと合う。

切り口を円板だと思い込まない。線分が $x$ 軸をまたがず、軸からいちばん近い点が端点でないことがあるので、内側に穴があく。穴の有無は $g$ の軸 $z = \frac{k}{2}$ が定義域に入るかどうかで決まる。

$z$ の動く範囲が $min {x, 1 - x}$ で切り替わるので、場合分けの境目が2か所（ $x = \frac{1}{3}$ と $x = \frac{1}{2}$ ）あるように見える。実際には最大値は全域で $(1 - x)^{2}$ 、最小値の切り替わりは $x = \frac{1}{3}$ だけなので、面積の式は2つで足りる。

$C$ は使わない。 $D$ の座標を出すためにだけ出てくる点で、回転させるのは三角形 $ABD$ である。

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三角形 ABD の周および内部を x 軸のまわりに1回転させた立体の体積を求める

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